2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式教学案1教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1.提问：二元均值不等式有哪几种形式？答案：及几种变式.2.练习：已知a、b、c、d为实数，求证证法：（比较法）=….=二、讲授新课：1.教学柯西不等式：①提出定理1：若a、b、c、d为实数，则.→即二维形式的柯西不等式→什么时候取等号？②讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）.（要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量，，则，.∵，且，则.∴…..证法四：（函数法）设，则≥0恒成立.∴≤0，即…..③讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？
变式：或或.④提出定理2：设是两个向量，则.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者共线）⑤练习：已知a、b、c、d为实数，求证.证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形）2.教学三角不等式：出示定理3：设，则.分析其几何意义→如何利用柯西不等式证明→变式：若，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3.小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1.练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2.作业：教材P374、5题.二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习准备：1.提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？答案：；2.讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3.如何利用二维柯西不等式求函数的最大值?要点：利用变式.二、讲授新课：1.教学最大（小）值：
①出示例1：求函数的最大值？分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式→板演→变式：→推广：②练习：已知，求的最小值.解答要点：（凑配法）.讨论：其它方法（数形结合法）2.教学不等式的证明：①出示例2：若，，求证：.分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造）要点：…讨论：其它证法（利用基本不等式）②练习：已知、，求证：.3.练习：①已知，且，则的最小值.要点：….→其它证法②若，且，求的最小值.（要点：利用三维柯西不等式）变式：若，且，求的最大值.3.小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.三、巩固练习：1.练习：教材P378、9题2.作业：教材P371、6、7题
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