高中数学 第二章2.1.1平面导学案 新人教a版必修2

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面问题导学一、三种语言的转换活动与探究1(1)说明语句“l⊂α，m∩α＝A，A∉l”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形；(2)用符号语言表示下图所表示的点、线、面的位置关系．迁移与应用1．如图所示的点、线、面的位置关系用符号语言表示为________________．2．用符号语言表示“三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC”，并画出图形．在立体几何中，符号“∈”和“∉”表示点与直线、点与平面的关系；符号“∩”表示直线与直线或直线与平面相交；符号“⊂”和“⊄”表示直线与平面的关系．虽然借用集合中的符号表示点、线、面的位置关系，但在读时仍用几何语言．二、点线共面问题活动与探究2过直线l外一点P引两条直线PA，PB和直线l分别相交于A，B两点，求证：三条直线PA，PB，l共面．迁移与应用1．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是(  )A．1B．2C．3D．1或32．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交．求证：直线a，b，l共面．(1)证明多点、多线共面时，可先由部分点线确定一个平面，再由公理1证明其他点线也在这个平面内．(2)两条相交直线确定一个平面，两条平行直线也确定一个平面．三、证明多点共线问题活动与探究3如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB上的点，H，F分别为AD，CD上的点，GH与EF交于点O．求证：B，D，O在同一条直线上． 迁移与应用1．已知平面α∩平面β＝l，点P∈α，P∈β，则点P与直线l的关系是__________．2．如图，已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于点P，Q，R，求证：P，Q，R三点共线．证明多点共线的方法是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个平面的交线上，这是证明多点共线的基本思路与方法．四、证明多线共点活动与探究4已知三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点．迁移与应用如图，已知平面α，β，且α∩β=l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β，求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点；然后说明这个点在以另一条线为交线的两个平面内，即该点在另一条直线上，所以三线共点．当堂检测1．下列说法中正确的个数为(  )①梯形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面．A．1B．2C．3D．42．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(  )A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝MD．l∩α＝N 3．在空间中，下列命题不正确的是(  )A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C．若A既在平面α内，又在平面β内，且α与β交于b，则A在b上D．任意三点能确定一个平面4．已知平面α∩β＝l，△ABC的三边中，AB⊂α，AC⊂β，则顶点A与直线l的位置关系是__________．5．已知α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为__________．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．(1)无限延展 (2)①平行四边形 45° 2倍 ②立体感 虚线 (3)平面α 平面ABCD 平面AC 平面BD预习交流1 (1)提示：能用三角形表示平面，可写为平面ABC．(2)提示：一个平面把空间分成两部分；两个平面相交时，把空间分成四部分，平行时，把空间分成三部分．2．(1)所有点都 平面α经过直线l预习交流2 提示：因为点可看作元素，则直线与平面都可看作是点的集合，所以，点与线、点与面之间的关系就是元素与集合的关系，线与面之间的关系就是集合与集合之间的关系，所以用集合的符号表示点、线、面之间的关系正好与集合中元素、集合的关系一致．3．两点 这条直线在此平面内 l⊂α 不在一条直线上的三点有且只有 一条过该点的公共直线预习交流3 (1)提示：应用公理1可说明某直线在某个平面内，或某个点在某个平面内．如，若l⊂α，A∈l，则A∈α．(2)提示：“有且只有一个”的含义是“存在且惟一”，它包含两个意思：一是存在，二是惟一．(3)提示：两个平面相交只有一条交线，点P在交线上．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：利用三种语言的关系解答．解：(1)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图所示． (2)图示的点、线、面的位置关系可用符号语言表示为α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，m∥l．迁移与应用 1．α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A∉l，B∉l2．解：α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，PA∩PB∩PC＝P．图形如图所示．活动与探究2 思路分析：根据条件P，A，B确定一个平面，再证直线l，PA，PB在这个平面内．证明：如图，∵点P，A，B不共线，∴点P，A，B确定一个平面α．∴P∈α，A∈α，B∈α．∴PA⊂α，PB⊂α．又A∈l，B∈l，∴l⊂α．∴PA，PB，l共面．迁移与应用 1．D2．证明：∵a∥b，∴直线a，b确定一个平面，记为α，如图．设a∩l＝A，b∩l＝B，则A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α．∴l⊂α．∴直线a，b，l共面．活动与探究3 思路分析：本例是一个证明三点共线的问题，根据题意只需证明点O在直线BD上．而BD是平面ABD与平面BCD的交线，因而只需证明点O在平面ABD内，也在平面BCD内即可．证明：∵GH∩EF＝O，∴O∈GH，O∈EF．又GH⊂平面ABD，EF⊂平面BCD，∴O∈平面ABD，O∈平面BCD．∴点O在平面ABD与平面BCD的交线上．又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD．∴B，D，O在同一条直线上．迁移与应用 1．P∈l2．证明：∵AB∩α＝P，AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC，P∈α，∴P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证，Q和R均在这条交线上．∴P，Q，R三点共线．活动与探究4 思路分析：先由a，b共面且不平行，得a与b相交，设交于点P ，再证明交点P在c上，即证明P∈α，P∈β．证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ．又由于直线a和b不平行，∴a，b必相交．设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b．∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α．又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P．∴a，b，c三条直线相交于同一点．迁移与应用 证明：∵四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，∴延长AB，DC，设交于点O．则O∈AB，O∈CD．∵AB⊂α，CD⊂β．∴O∈α，O∈β．∵α∩β＝l，∴O∈l．∴AB，CD，l共点．【当堂检测】1．C 2．A 3．D 4．A∈l 5．P∈l