人教A版2017-2018学年高中数学必修2知识导航学案2.1.1平面知识梳理1.点P在直线l上,记作P∈l;点P在直线l外,记作Pl;直线l在平面α内,记作lα;直线l在平面α外,记作lα;直线l交平面α于点A,记作l∩α=A;平面α与β交于直线l,记作α∩β=l.2.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.公理1是判断的依据,又是几何推理的依据,其符号表示为A∈l,B∈l,且A∈α,B∈αlα.3.过不在同一直线上的三点有且仅有一个平面.它刻画了平面特有的基本性质,它给出了确定一个平面的依据.4.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且仅有一条通过该点的直线.公理是判断两个平面相交的依据,其符号表示为P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l知识导学要学好本节内容,可从观察最简单的几何体——长方体出发,在此基础上,进入“抽象概括”,得出点、线、面的位置关系.平面的基本性质是立体几何的基础,掌握平面的基本性质,应能熟练地进行文字语言、符号语言和图形语言的相互转化,它有利于我们正确地认识和描述空间图形.为了更好地掌握三个公理,学习过程中应多观察实物,特别是长方体这一模型.疑难突破1.平面的概念.剖析:平面是一个只描述而不定义的最基本的原始概念.生活中的平面是比较平整、有限的,而立体几何中所说的平面是从生活中常见平面中抽象、概括出来的,是一个理想的、绝对平整的、无限延伸的.立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的:平面图形如三角形、正方形、梯形等,它们有大小之分,而平面却是无大小、厚薄之分,是不可度量的.总结起来,平面应具有如下的特点:(1)平面是平的;(2)平面是没有厚度的;(3)平面是无限延展而没有边界的;(4)平面是由空间点、线组成的无限集合;(5)平面图形是空间图形的重要组成部分.生活中的一些物体通常呈平面形,课桌面、黑板面都给我们以平面的形象.这种借助于实例引入平面的概念是必要的,对几何中平面的无限延展性可以联系直线的无限延展性来理解,即任何一个平面都把空间分成两部分.2.平面基本性质有什么推论？剖析:推论1:经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.图形表示如图2-1-1.图2-1-1推论1、推论2、推论3在课本中没有体现出来,它实际上是由公理2推出的,通常用公理2、推论1、推论2、推论3来确定平面,再用公理1证明线在面内,它们之间联系比较密切.
人教A版2017-2018学年高中数学必修2知识导航学案公理2及其推论是确定平面的依据,应深刻而又透彻地理解公理中“有且仅有一个”的含义.这里的“有”是指图形存在,“只有一个”是指图形唯一.公理2及推论强调的是存在和唯一两个方面,因此“有且只有一个”必须完整地使用,不能仅用“只有一个”,否则就没有表达存在性.对公理2的学习,应突出“经过不在同一直线上”和“三点”几个字,这是因为经过一点、两点或同一直线上的三点可有无数个平面.同时,经过不在同一直线上的四个点不一定有一个平面.三个推论的证明可先由公理2确定一个平面,再用公理1说明其他点、线也在该平面内.
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