2020_2021学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.1平面课件新人教A版必修2

第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平  面 1.平面的概念几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的. 2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,它的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如图①. (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图②. 【思考】类比直线的画法,想一想为什么“通常”画“平行四边形”表示平面? 提示:①通常画的平行四边形表示的是整个平面.需要时,可以把它延展开来,如同在平面几何中画直线一样,直线是可以无限延伸的,但在画直线时却只画一条线段(无端点)来表示. ②加“通常”二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平面图形表示,如用三角形、矩形、圆等平面图形来表示平面. 3.平面的表示法(1)用希腊字母表示,如平面α,平面β,平面γ.(2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示,如平面ABCD.(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示,如平面AC,平面BD. 4.平面的基本性质公理文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α 公理文字语言图形语言符号语言公理2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面A,B,C三点不共线⇒存在惟一的平面α使A,B,C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l 【思考】用数学符号“∈”、“∉”“⊂”或“∩”表示点和直线、平面的位置关系的依据是什么?这些符号分别适用于什么情况? 提示:(1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“∈”或“∉”表示.(2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“∈”或“∉”表示. (3)直线和平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“⊂”或“⊄”表示.直线与平面的交点,平面与平面的交线可看成两个集合的“交集”,故用“∩”表示. 【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)几何里的平面是有厚度的,有边界的.()(2)若线段AB在平面α内,则直线AB在平面α内.() (3)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点.()(4)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.() 提示:(1)×.几何里的平面是没有厚度,无限延展而没有边界的.(2)√.直线AB在平面α内,因为线段AB在平面α内,所以线段AB上的所有点都在平面α内,故线段AB上A,B两点一定在平面α内,由公理1可知直线AB在平面α内. (3)×.平面α与平面β相交,它们有无限个公共点,这些点都在同一条直线上.(4)×.如三点共线,这两个平面有可能相交,也可能重合,所以该命题错误. 2.如果空间四点A,B,C,D不共面,那么下列判断中正确的是()A.A,B,C,D四点中必有三点共线B.A,B,C,D四点中不存在三点共线C.直线AB与CD相交D.直线AB与CD平行 【解析】选B.两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面. 3.已知如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系: (1)点C与平面β:______________.(2)点A与平面α:_________.(3)直线AB与平面α:_______.(4)直线CD与平面α:_______.(5)平面α与平面β:_______. 【解析】(1)C∉β.(2)A∉α.(3)AB∩α=B.(4)CD⊂α.(5)α∩β=BD.答案:(1)C∉β(2)A∉α(3)AB∩α=B(4)CD⊂α(5)α∩β=BD 类型一 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化【典例】1.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是()A.a∈α,A⊂a⇒A⊂αB.a⊂α,A∈a⇒A∈αC.a∈α,A∈a⇒A⊂αD.a∈α,A∈a⇒A∈α 2.下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是() 3.如图所示,根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系. (1)点P与直线AB.(2)点C与直线AB.(3)点A1与平面AC.(4)直线AB与直线BC.(5)直线AB与平面AC.(6)平面A1B与平面AC. 【思维·引】1.点看作元素,直线和平面看作点的集合,据此选择恰当的数学符号.2.注意被遮挡的线画成虚线.3.判断点、直线和平面的位置关系,选择恰当的数学符号表示出来. 【解析】1.选B.直线在平面内用“⊂”,点在直线上和点在平面内用“∈”.2.选D.画两个相交平面时,被遮住的部分用虚线表示,只有D画法正确. 3.(1)点P∈直线AB.(2)点C∉直线AB.(3)点A1∉平面AC.(4)直线AB∩直线BC=点B.(5)直线AB⊂平面AC.(6)平面A1B∩平面AC=直线AB. 【内化·悟】在用符号表示点、线、面之间的关系时,如何区别“∈”与“⊂”? 提示:可借助集合的观点区分“∈”与“⊂”.点与直线(或平面)的位置关系,用“∈”或“∉”表示;直线与平面的位置关系,用“⊂”或“⊄”表示;直线与直线相交、平面与平面相交要类比集合与集合交集说明交点或交线. 【类题·通】三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示. (2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”. 【习练·破】根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A∈α,B∉α.(2)l⊂α,m∩α=A,A∉l.(3)P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α. 【解析】(1)点A在平面α内,点B不在平面α内,如图①所示.(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上,如图②所示.(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q, 如图③所示. 【加练·固】将下列符号语言转化为图形语言.(1)a⊂α,b∩α=A,A∉a.(2)α∩β=c,a⊂α,b⊂β,a∥c,b∩c=P. 【解析】(1)(2) 类型二 点、线共面问题【典例】证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.【思维·引】用纳入法证明,即先由两条相交直线确定一个面,再证第三条直线在这个平面内. 【证明】已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内. 证明:方法一:因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以B∈l2.又因为l2⊂α,所以B∈α.同理可证C∈α.又因为B∈l3,C∈l3,所以l3⊂α.所以直线l1,l2,l3在同一平面内. 方法二:因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.因为A∈l2,l2⊂α,所以A∈α.因为A∈l2,l2⊂β,所以A∈β. 同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内. 【素养·探】在点、线共面问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过研究点、直线和平面之间的基本位置关系,从已知定理出发,依据逻辑规则推出一个命题.将本例的条件“两两相交且不共点的三条直线”改为“和同一条直线相交的两条平行直线”,试证明这三条直线在同一平面内. 【证明】已知l1∥l2,l1∩l3=A,l2∩l3=B,求证:l1,l2,l3共面.证明:因为l1∥l2,所以l1与l2确定一个平面,设该平面为α,则l1⊂α,l2⊂α,又因为l1∩l3=A,l2∩l3=B,所以A∈l1⊂α,B∈l2⊂α,即A∈α,B∈α,而A∈l3,B∈l3,所以l3⊂α,因此l1,l2,l3共面. 【类题·通】1.证明点、线共面问题的理论依据(1)公理1和公理2(2)公理2的推论①经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.②经过两条相交直线有且只有一个平面.③经过两条平行直线有且只有一个平面. 2.证明点、线共面的两种常用方法(1)纳入法:先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内.(2)重合法:先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合. 【习练·破】已知直线l与四边形ABCD的三边AB,AD,CD所在的直线分别相交于点E,F,G.求证:四边形ABCD是平面四边形. 【证明】设AB,AD确定的平面为α,则E∈α,F∈α,于是l⊂α.因为G∈l,所以G∈α.所以DG⊂α,即DC⊂α.所以C∈α.故A,B,C,D四点共面,即四边形ABCD为平面四边形. 【加练·固】已知:A∈l,B∈l,C∈l,D∉l,如图所示.求证:直线AD,BD,CD共面. 【证明】因为D∉l,所以l与D可以确定平面α,因为A∈l,所以A∈α,又D∈α,所以AD⊂α.同理,BD⊂α,CD⊂α,所以AD,BD,CD在同一平面α内,即它们共面. 类型三 点共线、线共点问题【典例】1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q,求证:B,Q,D1三点共线. 2.如图,已知平面α,β,且α∩β=l,设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β.求证:AB,CD,l共点. 【思维·引】1.注意到平面ABC1D1与平面A1BCD1相交于直线BD1,可知利用公理3证明点Q同时在这两个平面内.2.基本思路是证明其中两条直线的交点在第三条直线上. 【证明】1.如图,连接A1B,CD1,BD1显然B∈平面A1BCD1,D1∈平面A1BCD1, 所以BD1⊂平面A1BCD1.同理,BD1⊂平面ABC1D1,所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1.因为A1C∩平面ABC1D1=Q,所以Q∈平面ABC1D1.又因为A1C⊂平面A1BCD1,所以Q∈平面A1BCD1.所以Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上,即Q∈BD1,所以B,Q,D1三点共线. 2.因为梯形ABCD中,AD∥BC,所以AB,CD是梯形ABCD的两腰,所以AB,CD必定相交于一点,如图,设AB∩CD=M.又因为AB⊂α,CD⊂β,所以M∈α,且M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.即AB,CD,l共点. 【内化·悟】1.证明点共线、线共点问题最终都可以归结为什么问题?提示:最终都可以归结为利用公理3证明点在直线上的问题. 2.利用公理3证明点在直线上的关键是什么?提示:关键是恰当选择平面,把直线看作这两个平面的交线. 【类题·通】(1)证明三点共线的方法 (2)证明三线共点的步骤 【习练·破】1.已知△ABC在平面α外,其三边所在的直线满足AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,如图所示.求证:P,Q,R三点共线. 【证明】方法一:因为AB∩α=P,所以P∈AB,P∈平面α.又AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC.所以由公理3可知:点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.所以P,Q,R三点共线. 方法二:因为AP∩AR=A,所以直线AP与直线AR确定平面APR.又因为AB∩α=P,AC∩α=R,所以平面APR∩平面α=PR.因为B∈平面APR,C∈平面APR,所以BC⊂平面APR.因为Q∈BC,所以Q∈平面APR,又Q∈α,所以Q∈PR,所以P,Q,R三点共线. 2.如图,△ABC与△A1B1C1不全等,且A1B1∥AB,B1C1∥BC,C1A1∥CA.求证:AA1,BB1,CC1交于一点. 【证明】如图所示,因为B1C1∥BC,所以B1C1与BC确定一个平面,记为平面β. 同理,将C1A1与CA所确定的平面记为平面γ.易知β∩γ=C1C.因为△ABC与△A1B1C1不全等,且A1B1∥AB,所以AA1与BB1相交,设交点为P,P∈AA1,P∈BB1.而AA1⊂γ,BB1⊂β,所以P∈γ,P∈β,所以P在平面β与平面γ的交线上.又β∩γ=C1C,所以P∈C1C,所以AA1,BB1,CC1交于一点. 【加练·固】如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F.求证:E,F,G,H四点必定共线. 【证明】因为AB∥CD,所以AB,CD确定一个平面β(即平面ABCD),又因为AB∩α=E,AB⊂β,所以E∈α,E∈β,即E为平面α与β的一个公共点.同理可证F,G,H均为平面α与β的公共点,两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线,所以E,F,G,H四点必定共线.