2019年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面课件新人教A版必修2x

第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平 面 课标要求:1.正确理解平面的概念.2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,理解三个公理的地位与作用. 自主学习知识探究1.平面(1)平面的概念几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是的.(2)平面的画法①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成,且横边长等于其邻边长的.如图(1).无限延展45°2倍 ②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用画出来.如图(2).(3)平面的表示图(1)的平面可表示为平面ABCD,平面AC,平面BD或平面α.注意:“平面”二字不能省略.虚线 2.点、直线、平面之间的位置关系及语言表达文字语言表达图形语言表达符号语言表达点A在直线l上.点A在直线l外.点A在平面α内.点A在平面α外.A∈lA∉lA∈αA∉α 直线l在平面α内.直线l在平面α外.平面α,β相交于l.l⊂αl⊄αα∩β=l 3.平面的基本性质文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的在一个平面内,那么这条直线在此平面内A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α公理2过的三点,有且只有一个平面A,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α,使A,B,C∈α两点不在一条直线上 公理3如果两个不重合的平面有公共点,那么它们有且只有一条的公共直线P∈α,P∈β⇒α∩β=l,且P∈l一个过该点 探究:(教师备用)把下列符号语言表示的图形画出来:α∩β=l,A∈l,B∈α,D∈α且BD∥l.答案: 自我检测1.三条直线两两相交,可以确定平面的个数是()(A)1个(B)1个或2个(C)1个或3个(D)3个2.如图所示,用符号语言可表达为()(A)α∩β=m,n⊂α,m∩n=A(B)α∩β=m,n∈α,m∩n=A(C)α∩β=m,n⊂α,A⊂m,A⊂n(D)α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈nCA 3.三个平面将空间最多能分成()(A)6部分(B)7部分(C)8部分(D)9部分4.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则()(A)l⊂α(B)l⊄α(C)l∩α=M(D)l∩α=NCA解析:因为M∈l,N∈l,且M∈α,N∈α,所以l⊂α. 5.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是.答案:点P在直线DE上 题型一文字语言、图形语言、符号语言的转换【例1】完成下列各题:(1)将下列文字语言转换为符号语言.①点A在平面α内,但不在平面β内;②直线a经过平面α外一点M;③直线l在平面α内,又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l).课堂探究解:(1)①A∈α,A∉β.②M∈a,M∉α.③α∩β=l. (2)将下列符号语言转换为图形语言.①a⊂α,b∩α=A,A∉a;②α∩β=c,a⊂α,b⊂β,a∥c,b∩c=P. 方法技巧实现三种语言转换要注意(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.(2)符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意把被遮挡的部分画成虚线. 即时训练1-1:(1)A,B,C表示不同的点,n,l表示不同的直线,α,β表示不同的平面,下列推理表述不正确的是()(A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α(B)A∈α,A∈β,B∈β,B∈α⇒α∩β=直线AB(C)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合(D)l∈α,n∈α,l∩n=A⇒l与n确定唯一平面(2)如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系. 解:(1)选D.(2)在①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在②中,α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P. 1-2:根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A∈α,B∉α;(2)l⊂α,m∩α=A,A∉l;(3)P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α.解:(1)点A在平面α内,点B不在平面α内.(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上.(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1),(2),(3)所示. 题型二点线共面【例2-1】如图,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,求证直线l1,l2,l3在同一平面内.证明:法一(纳入法)因为l1∩l2=A,所以l1和l2在同一平面α内.因为l2∩l3=B,所以B∈l2.又因为l2⊂α,所以B∈α.同理可证C∈α.又因为B∈l3,C∈l3,所以l3⊂α.所以直线l1,l2,l3在同一平面内. 法二(重合法)因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.因为A∈l2,l2⊂α,所以A∈α.因为A∈l2,l2⊂β,所以A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内. 【2-2】如图,点A,B∈平面β,直线a⊂平面α,点M∉a,M∈α,α∩β=l,试在直线a上找一点N,使MN与AB相交.解:在平面β内作直线AB交l于点P,连接MP,则MP与a的交点即是点N. 方法技巧证明点线共面问题的理论依据是公理2,常用方法有:(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合. 即时训练2-1:空间两两相交且共点的三条直线,可以确定的平面数是()(A)1(B)2(C)3(D)1或3解析:两两相交且共点的三条直线若在一个平面内,可确定一个平面,若不在一平面内,每两条直线可确定一个平面,共可确定3个平面,故选D. 2-2:已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中.(1)AA1与CC1是否在同一平面内?解:(1)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AA1∥CC1,所以AA1与CC1可确定平面ACC1A1,所以AA1与CC1在同一平面内. (2)点B,C1,D是否在同一平面内?(3)画出平面ACC1A1与平面BC1D的交线,平面ACD1与平面BDC1的交线.解:(2)因为点B,C1,D不共线,所以B,C1,D可确定平面BC1D,所以点B,C1,D在同一平面内.(3)因为AC∩BD=O,D1C∩DC1=E,所以O∈平面ACC1A1,且O∈平面BC1D.又C1∈平面ACC1A1,且C1∈平面BC1D,所以平面ACC1A1∩平面BC1D=OC1.同理平面ACD1∩平面BDC1=OE. 题型三多点共线、多线共点问题【例3-1】(12分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:CE,D1F,DA三线交于一点. 变式探究:若将题目条件中的“E,F分别为AB,AA1的中点”改成E,F分别为AB,AA1上的点,且D1F∩CE=M,求证:M∈AD.证明:因为D1F∩CE=M,且D1F⊂平面A1D1DA,所以M∈平面A1D1DA,同理M∈平面BCDA,从而M在两个平面的交线上,因为平面A1D1DA∩平面BCDA=AD,所以M∈AD成立. 方法技巧(1)证明三线共点常用的方法:先证明两条直线相交于一点,然后证明这个点在两个平面内,第三条线是这两个平面的交线,于是该点在第三条直线上,从而得到三线共点.也可以先证明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点.(2)类比线共点的证明方法,可得到三点共线的证明方法:①首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理3,可推知这些点都在交线上,即三点共线.②选择其中两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直线上. 【3-2】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()(A)A,M,O三点共线(B)A,M,O,A1不共面(C)A,M,C,O不共面(D)B,B1,O,M共面 解析:连接A1C1,AC,则A1C1∥AC.所以A1,C1,C,A四点共面.所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.故选A. 即时训练3-1:如图,△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=Q,BC∩α=R.求证:P,Q,R三点共线. 解:因为AB∩α=P,所以P∈AB,P∈α.又AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC.由公理3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上,所以P,Q,R三点共线.