2018-2019学年高中数学人教A版必修 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面 练习

2.1.1 平 面【选题明细表】知识点、方法题号三种语言的转换1,6公理的基本应用2,3,4,5,9共点、共线、共面问题7,8,10,11,12,131.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是( B )(A)a∈α,A⊂a⇒A⊂α(B)a⊂α,A∈a⇒A∈α(C)a∈α,A∈a⇒A⊂α(D)a∈α,A∈a⇒A∈α解析:直线在平面内用“⊂”,点在直线上和点在平面内用“∈”,故选B.2.给出下列说法:(设α,β表示平面,l表示直线,A,B,C表示点)①若A∈l,A∈α,B∈α,B∈l,则l⊂α;②若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB;③若l⊄α,A∈l,则A∉α,则正确的个数是( B )(A)1(B)2(C)3(D)4解析:③中点A可以是直线与平面的交点,所以错误.①,②正确.故选B.3.下列图形中不一定是平面图形的是( D )(A)三角形(B)平行四边形(C)梯形(D)四边相等的四边形解析:利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形,故选D.4.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成( C )(A)5部分(B)6部分(C)7部分(D)8部分解析:如图所示,三个平面α,β,γ两两相交,交线分别是a,b,c且a∥b∥c,观察图形,得α,β,γ把空间分成7部分.故选C. 5.(2018·高一测试)如图平面α∩平面β=直线l,点A,B∈α,点C∈β,C∉l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定平面γ,则γ与β的交线必过( D )(A)点A(B)点B(C)点C但不过点D(D)点C和点D解析:因为C∈β,D∈β,且C∈γ,D∈γ,所以γ与β的交线必过点C和D.6.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.(1)A∉α,a⊂α    ; (2)α∩β=a,P∉α且P∉β    ; (3)a⊄α,a∩α=A    ; (4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O    . 解析:考查识图能力及“图形语言与符号语言”相互转化能力,要注意点线面的表示.习惯上常用大写字母表示点,小写字母表示线,希腊字母表示平面.答案:(1)C (2)D (3)A (4)B7.给出以下命题:①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;②三条两两相交的直线在同一平面内;③有三个不同公共点的两个平面重合;④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是    . 解析:空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内,故①错;若三条直线相交于一点时,不一定在同一平面内,如长方体一角的三条线,故②错;若两平面相交时,也可有三个不同的公共点,故③错;若三条直线两两平行且在同一平面内,则只有一个平面,故④错.答案:08.如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为8cm,M,N,P分别是AB,A1D1,BB1的中点.(1)画出过M,N,P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线以及与平面BB1C1C的交线;(2)设过M,N,P三点的平面与B1C1交于点Q,求PQ的长.解:(1)如图,设M,N,P三点确定的平面为α,则α与平面ABB1A1交于MP.设MP∩A1B1=R, 则RN是α与平面A1B1C1D1的交线.设RN∩B1C1=Q,则PQ是α与平面BB1C1C的交线.(2)因为正方体的棱长为8cm,M,P分别为AB,BB1的中点,所以B1R=BM=4cm.在△RA1N中,=,所以B1Q=×4=(cm).在Rt△PB1Q中,PB1=4cm,B1Q=cm,所以PQ==(cm).9.(2018·保定九校联考)长方体的12条棱所能确定的平面个数为( C )(A)8(B)10(C)12(D)14解析:在长方体中由12条棱可构成长方体的6个面和6个对角面,共12个面.10.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( D )解析:在A图中分别连接PS,QR,易证PS∥QR,所以P,Q,R,S共面;在C图中分别连接PQ,RS,易证PQ∥RS,所以P,Q,R,S共面;在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;D图中PS与QR为异面直线,所以四点不共面,故选D.11.求证:两两相交且不共点的四条直线a,b,c,d共面.证明:(1)无三线共点情况,如图(1).设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α.因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α,所以NQ⊂α,即b⊂α.同理c⊂α,所以a,b,c,d共面.(2)有三线共点的情况,如图(2).设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且K∉a,因为K∉a,所以K和a确定一个平面,设为β.因为N∈a,a⊂β,所以N∈β.所以NK⊂β,即b⊂β.同理c⊂β,d⊂β.所以a,b,c,d共面.由(1),(2)知a,b,c,d共面.12.如图,空间四边形ABCD中,E,H分别是AB,AD中点,F,G分别是BC,CD上的点,且==. 求证:三条直线EF,GH,AC交于一点.证明:因为E,H分别是AB,AD中点,所以EHBD,因为==,所以GF∥BD,GF=BD,所以EH∥GF且EH≠GF,所以四边形EFGH为梯形,所以两腰EF,GH交于一点,记为P.因为EF⊂平面ABC,所以P∈平面ABC,同理P∈平面ADC,所以P在平面ADC和平面ABC的交线AC上,所以三条直线EF,GH,AC交于一点.13.如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3,M,N分别是棱AA1,AB上的点,且AM=AN=1.(1)证明:M,N,C,D1四点共面;(2)平面MNCD1将此正方体分为两部分,求这两部分的体积之比.(1)证明:连接A1B,在四边形A1BCD1中,A1D1∥BC且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥D1C,在△ABA1中,AM=AN=1,AA1=AB=3,所以=,所以MN∥A1B,所以MN∥D1C,所以M,N,C,D1四点共面. (2)解:记平面MNCD1将正方体分成两部分的下面部分体积为V1,上面部分体积为V2,连接D1A,D1N,DN,则几何体D1AMN,D1ADN,D1CDN均为三棱锥,所以V1=++=S△AMN·D1A1+S△ADN·D1D+S△CDN·D1D=××3+××3+××3=.从而V2=-=27-=,所以=,所以平面MNCD1分此正方体的两部分体积的比为.