2.1.1 平 面1.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是( B )(A)a∈α,A⊂a⇒A⊂α(B)a⊂α,A∈a⇒A∈α(C)a∈α,A∈a⇒A⊂α(D)a∈α,A∈a⇒A∈α解析:直线在平面内用“⊂”,点在直线上和点在平面内用“∈”,故选B.2.若点A在直线b上,b在平面β内,则A,b,β之间的关系可以记作( B )(A)A∈b,b∈β(B)A∈b,b⊂β(C)A⊂b,b⊂β(D)A⊂b,b∈β解析:点与直线是属于关系,直线与平面是包含关系,故选B.3.下列图形中不一定是平面图形的是( D )(A)三角形(B)平行四边形(C)梯形(D)四边相等的四边形解析:利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形,故选D.4.空间不共线的四点,可以确定平面的个数是( C )(A)0(B)1(C)1或4(D)无法确定解析:四点可以确定平面的个数为1个;四点不共面,可以确定平面的个数是4,故空间不共线的四点,可以确定平面的个数是1或4个.5.如图平面α∩平面β=直线l,点A,B∈α,点C∈β,C∉l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定平面γ,则γ与β的交线必过( D )(A)点A(B)点B(C)点C但不过点D(D)点C和点D解析:因为C∈β,D∈β,且C∈γ,D∈γ,所以γ与β的交线必过点C和D.6.下列各图均是正六棱柱,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是( D )
解析:在选项A,B,C中,由棱柱、正六边形、中位线的性质,知均有PS∥QR,即在此三个图形中P,Q,R,S共面,故选D.7.以下三个命题:①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若A,B,C,D共面,A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;③依次首尾相接的四条线段一定共面,其中正确命题的个数是( B )(A)0(B)1(C)2(D)3解析:①正确;对于②,当A,B,C三点共线,如图(1)所示,A,B,C,D,E不一定共面,故②不正确;对于③,如图(2)所示的AB,BC,CD,DA依次首尾相连,但四条线段不共面,故③不正确.8.(2017·金华九校联考)长方体的12条棱所能确定的平面个数为( C )(A)8(B)10(C)12(D)14解析:在长方体中由12条棱可构成长方体的6个面和6个对角面,共12个面.9.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.(1)A∉α,a⊂α ; (2)α∩β=a,P∉α且P∉β ; (3)a⊄α,a∩α=A ; (4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O . 解析:考查识图能力及“图形语言与符号语言”相互转化能力,要注意点线面的表示.习惯上常用大写字母表示点,小写字母表示线,希腊字母表示平面.答案:(1)C (2)D (3)A (4)B10.给出以下命题:①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;②三条两两相交的直线在同一平面内;③有三个不同公共点的两个平面重合;④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是 .
解析:空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内,故①错;若三条直线相交于一点时,不一定在同一平面内,如长方体一角的三条线,故②错;若两平面相交时,也可有三个不同的公共点,故③错;若三条直线两两平行且在同一平面内,则只有一个平面,故④错.答案:011.已知α,β为不重合的平面,A,B,M,N为不同的点,a为直线,下列推理中错误的是 (填序号). ①A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β;②M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN;③A∈α,A∈β⇒α∩β=A.解析:由公理1知①正确;②中,易知M,N为平面α与β交线上的点,故②正确;易知③错误.答案:③12.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,C1C,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则下列各组中的四个点在同一个平面上的是 . ①A,C,O1,D1;②D,E,G,F;③A,E,F,D1;④G,E,O1,O2.解析:①O1是AD1的中点,所以O1在平面ACD1内,即A,C,O,D四点共面;②因为E,G,F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,所以D,E,G,F不共面;③由已知可得EF∥AD1,所以A,E,F,D1共面;④连接GO2,交A1D1于H,则H为A1D1的中点,连接HO1,则HO1∥GE,所以G,E,O1,O2四点共面.答案:①③④13.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F为所在棱的中点,求证:D1,E,F,B四点共面.证明:如图,在BB1上取中点M,则BM=AE,连接EM,C1M,因为ABCDA1B1C1D1是正方体,所以ME∥AB且ME=AB,所以ME∥C1D1且ME=C1D1,所以四边形C1D1EM是平行四边形,所以D1E∥C1M.同理可得C1M∥FB且C1M=FB,所以D1E∥FB且D1E=FB,
所以四边形EBFD1是平行四边形.所以D1,E,F,B四点共面.14.如图,空间四边形ABCD中,E,H分别是AB,AD中点,F,G分别是BC,CD上的点,且==.求证:三条直线EF,GH,AC交于一点.证明:因为E,H分别是AB,AD中点,所以EHBD,因为==,所以GF∥BD,GF=BD,所以EH∥GF且EH≠GF,所以四边形EFGH为梯形,所以两腰EF,GH交于一点,记为P.因为EF⊂平面ABC,所以P∈平面ABC,同理P∈平面ADC,所以P在平面ADC和平面ABC的交线AC上,所以三条直线EF,GH,AC交于一点.15.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点Q是棱DD1上的动点,判断过A,Q,B1三点的截面图形的形状.解:由于点Q是线段DD1上的动点,故当点Q与点D1重合时,截面图形为等边三角形AB1D1,如图1所示.当点Q与点D重合时,截面图形为矩形AB1C1D,如图2所示.当点Q不与点D,D1重合时,截面图形为梯形AQRB1,如图3所示. 图1 图2 图316.下列各图是正方体,A,B,C,D分别是所在棱的中点,这四个点中共面的图有( C )
(A)①②③(B)①③④(C)①③(D)①②④解析:如图所示,正方体中A,B,C,D分别是所在棱的中点.图①中,因为AD∥EF,BC∥EF,所以AD∥BC,所以A,B,C,D四点共面.图②中,因为CD∥EF,EF∥MN,所以A,B,C,D四点不共面.图③中,因为CD∥EF,EF∥AB,所以CD∥AB,所以A,B,C,D四点共面.图④中,因为CD∥EF,所以A,B,C,D四点不共面.所以这四个点中共面的图有①③.故选C.17.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF与GH交于点M,则( A )(A)M一定在直线AC上(B)M一定在直线BD上(C)M可能在AC上,也可能在BD上(D)M既不在AC上,也不在BD上解析:如图所示,HG∩EF=M,HG⊂平面ACD,EF⊂平面ACB,
所以M∈平面ACD,M∈平面ACB.又平面ACD∩平面ACB=AC,所以M∈AC.故选A.18.如图所示,ABCDA1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是 . ①A,M,O三点共线;②A,M,O,A1四点共面;③A,O,C,M四点共面;④B,B1,O,M四点共面.解析:因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知①②③均正确.答案:④19.如图,正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1,P为BC中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得截面记为S.当CQ=时,S的面积为 ,若S为五边形,则此时CQ的取值范围为 . 解析:如图1所示,当CQ=时,截面S为等腰梯形,易求得上、下底边长分别为,,腰为,所以底边上的高为,所以S的面积为.当CQ=时,可知截面是等腰梯形,当CQ=1时,易得截面是一个菱形.所以,只有
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