高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系课件2.1.1平面及其表示法(含习题课)

平面 观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？空间点、直线、平面的位置关系问题长方体由上下、前后、左右六个面围成．有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在直线与面平行，有些棱所在直线与面相交，每条棱所在的直线都可以看成是某个平面内的直线，等等． 观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？实例引入观察 一.平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。二.平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。 三.平面的画法：（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：aß通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450 （3）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。 四.平面的表示方法：ABCD平面可以用希腊字母表示，也可以用代表表示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点字母表示。如：平面α，平面β，平面ABCD，平面AC平面BD等。 五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：ABa点A在直线a上：记为：A∈a点B不在直线a上：记为：B∈a点A在平面α上：记为：A∈α点B不在平面α上：记为：B∈αABα(1)点与直线的位置关系：(2)点与平面的位置关系： (3)直线与平面的位置关系：直线a上的所有点都在平面α上，称直线a在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：直线a与平面α只有一个公共点A时，称直线a与平面α相交。 记为：a∩α＝A直线a与平面α没有公共点时，称直线a与平面α平行。 记为：a∩α＝φ或a∥α.αaαAaαa 五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：BaA∈aB∈aA∈αB∈αααaαAbaAABb∩α＝Aa∩α＝φ或a∥α 例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．alABalPb（1）（2）解：在（1）中，在（2）中，典型例题 例2.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，点A，B都在直线a上；（2）平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内且平行于直线m.αβmaαABa 公理1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（即这条直线上的所有的点都在这个平面内）。αlAB桌面αAB观察下列问题，你能得到什么结论？ 公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（即这条直线上的所有的点都在这个平面内）。αlAB文字语言：图形语言：符号语言： 公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.αACB观察下列问题，你能得到什么结论_？BCA 文字语言：图形语言：符号语言：公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.αACB 公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。Pαβl观察下列问题，你能得到什么结论？P天花板α墙面β墙面γ 文字语言：图形语言：符号语言：公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。Plαβ （×）（×）（×）（×） 推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。αlABC推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.αACB 作业：P56习题2.1A组1，2，3（1）（2） 补充练习：1、A为直线上的点，又点A不在平面内，则与的公共点最多有_______个.12、四条直线过同一点，过每两条直线作一个平面，则可以作_____________个不同的平面.1或4或6 平面习题课 点、线、面之间的位置关系及语言表达点A在直线a上A∈a点A不在直线a上A∈a点A在平面α上A∈α点A不在平面α上A∈αAα文字语言表达图形语言表达符号语言表达AaaAAα直线a在平面α内αa直线a在平面α外αaαAab∩α＝Aa∩α＝φ或a∥α 公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（即这条直线上的所有的点都在这个平面内）。αlAB文字语言：图形语言：符号语言： 文字语言：图形语言：符号语言：公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.αACB 文字语言：图形语言：符号语言：公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。Plαβ 推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。αlABC推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.αACB 经过不共线三点确定平面的条件：经过一条直线和直线外的一点经过两条相交直线经过两条平行直线有且只有一个平面 概念巩固下列四个命题中，正确的是()A、任何一个平面图形都是一个平面B、平面就是平行四边形C、平面图形可以看成是点的有限集D、三角形可以确定一个平面D 概念巩固下列四个命题中，正确的是()A、三个点确定一个平面B、一条直线和一个点确定一个平面C、两条相交直线确定一个平面D、两条平行直线确定一个平面C，D 下列五个命题中，正确的是()A、四边形一定是平面图形B、空间的三个点确定一个平面C、梯形一定是平面图形D、六边形一定是平面图形E、三角形一定是平面图形C、E概念巩固 练习2：画出平面和平面相交的图形练习3：画出满足下列条件的图形（其中为平面，为直线） 多线共面问题的证明例1：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.练习：如图：是三条直线，且.求证：共面.CAB 多线共点问题的证明例2：如图，已知三个平面且求证：点P在直线c上.Pbca 多点共线问题的证明例3：如图已知在平面外.求证：P，Q，R三点共线.QPARBC 补充练习：1、A为直线上的点，又点A不在平面内，则与的公共点最多有_______个.12、四条直线过同一点，过每两条直线作一个平面，则可以作_____________个不同的平面.1或4或6