2021年人教版高中数学高一上学期期末复习试题07（解析版）

2021年人教版高中数学高一上学期期末复习试题高一数学试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的相应位置上.2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，只将答题卡交回.一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先计算，再计算得到答案.【详解】，则 故选：【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.2.函数的零点所在的一个区间是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判断函数单调递增，计算，得到答案.【详解】，函数单调递增，计算得到；故函数在有唯一零点故选：【点睛】本题考查了零点存在定理，意在考查学生的计算能力.3.若角的终边过点，则的值为（）A.B.C.或D.1【答案】B【解析】【分析】根据三角函数值的定义得到，代入计算得到答案.【详解】角的终边过点，则，则故选：【点睛】本题考查了三角函数值计算，意在考查学生的计算能力.4.若一个扇形的半径变为原来的倍，弧长变为原来的倍，则扇形的圆心角变为原来的（）A.3倍B.2倍C.倍D.倍【答案】A【解析】【分析】 根据公式得到，，得到答案.【详解】设，则故选：【点睛】本题考查了圆心角的计算，属于简单题.5.若，则是成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别判断充分性和必要性，判断得到答案.【详解】当时，可以得到，充分性；取，满足，但是不满足，不必要；故选：【点睛】本题考查了充分不必要条件，举出反例可以快速得到答案，是解题的关键.6.为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方法如下：每户每月用电量电价不超过230度的部分0.5元/度超过230度但不超过400度的部分0.6元/度超过400度的部分0.8元/度若某户居民本月交纳的电费为380元，则此户居民本月用电量为（）A.475度B.575度C.595.25度D.603.75度 【答案】D【解析】【分析】先确定用电度数超过，设超过400度的部分为，则，解方程得到答案.【详解】不超过230度的部分费用为：；超过230度但不超过400度的部分费用为：，；设超过400度的部分为，则，故用电度故选：【点睛】本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.7.若实数满足，则的最大值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据，将等式转化为不等式，求的最大值.【详解】,，，解得，，的最大值是.故选B.【点睛】本题考查了基本不等式求最值，属于基础题型.8.已知偶函数在上单调递减，若,则下列不等关系正确的是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】计算得到；；；根据函数的单调性得到答案.【详解】偶函数在上单调递减，则；；；易知：，故故故选：【点睛】本题考查了利用函数单调性，奇偶性，诱导公式比较大小，意在考查学生的综合应用能力.二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.）9.已知，则函数的值可能为（）A.3B.-3C.1D.-1【答案】BC【解析】【分析】讨论在第一象限；在第二象限；在第三象限；在第四象限；四种情况分别化简得到答案.【详解】， 当在第一象限时：；当第二象限时：当在第三象限时：当在第四象限时：故选：【点睛】本题考查了三角函数值化简，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.10.下列函数中，最小正周期为，且为偶函数的有（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】依次判断函数的周期和奇偶性得到答案.【详解】A.，函数周期为，非奇非偶函数，排除；B.，函数周期为，偶函数，满足；C.，函数周期为，偶函数，排除；D.，函数周期为，偶函数，满足；故选：【点睛】本题考查了三角函数的周期和奇偶性，意在考查学生对于三角函数性质的综合运用.11.已知,给出下列不等式:①；②；③；④； 则其中一定成立的有（）A.①B.②C.③D.④【答案】ABD【解析】【分析】依次判断每个选项：易知①正确；简单证明可以得到②④正确；取，计算得到③错误；判断得到答案.【详解】，则，①正确；，②正确；取，计算得到，③错误；，④正确；故选：【点睛】本题考查了不等式关系的判断，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.12.已知函数，则下面几个结论正确的有（）A.的图象关于原点对称B.的图象关于y轴对称C.的值域为D.，且恒成立【答案】ACD【解析】【分析】依次判断每个选项：判断奇偶性得到正确错误；利用换元法计算值域为；判断函数单调递减得到正确，得到答案.【详解】A.，则，则的图象关于原点对称； B.计算，，故的图象不关于y轴对称；C.，，易知：，故的值域为；D.，在定义域上单调递减，故，且恒成立；故选：【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，值域，意在考查学生对于函数知识的综合应用.三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.若命题为假命题，则实数a取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】命题转化为，讨论和两种情况，分别计算得到答案.【详解】命题为假命题，即当时：恒成立；当时：满足解得综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了根据命题的真假计算参数范围，忽略掉的情况是容易发生的错误.14.函数（且）的图象经过的定点坐标为__________.【答案】【解析】【分析】 取，得到，代入计算得到，得到定点.【详解】，取时，，即过定点故答案为：【点睛】本题考查了函数过定点问题，意在考查学生对于对数函数知识的理解.15.若，且，则__________.【答案】【解析】【分析】确定，化简得到，再利用计算得到答案.【详解】，故，故故答案为：【点睛】本题考查了三角函数值的计算，意在考查学生的计算能力.16.设区间是函数的定义域D的子集，定义在上的函数记为,若,则的值域为____________，关于x的方程恰有3个不同的解时，实数t的取值范围为_________.【答案】(1).(2).【解析】 【分析】分别计算和的值域，综合得到答案；根据题意化简得到，设，计算解析式，画出函数图像得到答案.【详解】当时，；当时，综上所述：值域为；即，即，则画出函数图像，根据图像知：故答案为：； 【点睛】本题考查了求函数值，根据方程解的个数求参数，画出函数图像是解题的关键.四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1）计算：；（2）已知集合.若，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用对数指数公式直接计算得到答案.（2）计算，，得到，讨论和两种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）原式（2），得 所以，即.所以，因为①当时，则有，得②当时，则有，得综上所述，实数的取值范围为【点睛】本题考查了指数对数的计算，根据集合的包含关系求参数，忽略掉空集是容易发生的错误.18.1766年；人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的距离（单位：AU，AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：行星编号（x）1（金星）2（地球）3（火星）4（）5（木星）6（土星）离太阳的距离（y）0.71.01.65.210.0受他的启发，意大利天文学家皮亚齐于1801年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星.（1）为了描述行星离太阳的距离y与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论即可）；①；②；③.（2）根据你的选择，依表中前几组数据求出函数解析式，并用剩下的数据检验模型的吻合情况；（3）请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离.【答案】（1）模型②符合题意（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）画出散点图，根据图形得到答案. （2）将分别代入得到解析式，再验证得到答案.（3）取，代入计算得到答案.【详解】（1）散点图如图所示：根据散点图可知，模型②符合题意（2）将分别代入得，解得，所以当时，.当时，.与已知表中数据完全吻合.（3）当时，，即谷神星距太阳的距离为【点睛】本题考查了散点图，函数解析式，意在考查学生的应用能力和计算能力.19.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）求在区间上的最值，并求出取最值时x的值；（3）求不等式的解集. 【答案】（1）（2）时，取最大值3；时，取得最小值0（3）【解析】【分析】（1）计算得到答案.（2）计算得到，再计算最值得到答案.（3）化简得到，故，化简得到答案.【详解】（1），解得.所以的单调递增区间为（2）由，得，故，所以.当且当，即时，取最大值3；当且仅当，即时，取得最小值0（3）由可得，，所以解得，即不等式的解集为【点睛】本题考查了三角函数的单调性，最值，解三角不等式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.20.已知函数.（1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增； （2）当时，解关于x的不等式.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1），，故得到证明.（2）化简得到，讨论，，三种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）由题意得，，且，则.由，得.于是，即所以函数在区间上单调递增（2）原不等式可化为.因为，故.（i）当,即时，得或.（ii）当,即时，得到,所以；（iii）当，即时，得或.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为【点睛】本题考查了函数的单调性的证明，解不等式，分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握.21.已知函数是的反函数. （1）当时，求函数的最小值的函数表达式；（2）若是定义在上的奇函数，在（1）的条件下，当时，，求的解析式，并画出的图象.【答案】（1）（2），图见解析【解析】【分析】（1），化简得到，设，，，讨论，，三种情况分别计算得到答案.（2）时，，再利用奇函数得到，画出函数图像得到答案.【详解】（1）由题意得.则，令，因为，所以所以，其对称轴为.①当时，在上单调递增，②当时，③当时，在上单调递减，故（2）由（1）得，当时， 时，，所以；因为是奇函数，所以，即.所以时，.又，所以图象如图【点睛】本题考查了函数解析式，函数图像，意在考查学生对于函数知识的综合应用.22.现对一块长米，宽米的矩形场地ABCD进行改造，点E为线段BC的中点，点F在线段CD或AD上（异于A，C），设（单位：米），的面积记为（单位：平方米），其余部分面积记为（单位：平方米）.（1）求函数的解析式；（2）设该场地中部分的改造费用为（单位：万元），其余部分的改造费用为（单位：万元），记总的改造费用为W单位：万元），求W最小值，并求取最小值时x的值.【答案】（1）（2）或时，W取得最小值0.8万元【解析】【分析】（1）当时，；当时，设，则， ，化简得到答案.（2），展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）当时，点F在线段AD上，，当时，点F在线段CD上，设，则，.所以（2）由题意可知.故（万元）.当且仅当，即时等号成立.又，解得因为，所以当时，令，得；当时，令，得.综上，当或时，W取得最小值0.8万元【点睛】本题考查了函数的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.