2021年人教版高中数学高一上学期期末复习试题12（解析版）

人教版高中数学高一上学期期末复习试题数学第Ⅰ卷（选择题60分）一、单项选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据补集的定义可得结果.【详解】因为全集，，所以根据补集的定义得，故选C.【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．2.函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由，得选B3.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是　(　　)A.B.C.-D.-【答案】B【解析】【分析】由于是晚一个小时，所以是逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为．【详解】由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转弧度.故选B. 【点睛】本题考查了弧度数的方向与计算，属于基础题．4.下列函数是在为减函数的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数、指数函数、余弦函数、反比例函数的单调性即可找出正确选项．【详解】对数函数，底数大于1时，在上增函数，不满足题意；指数函数，底数大于1时，在上增函数，不满足题意；余弦函数，从最高点往下走，即上为减函数；反比例型函数，在与上分别为减函数，不满足题意；故选C.【点睛】考查余弦函数，指数函数，正弦函数，以及正切函数的单调性，熟悉基本函数的图象性质是关键．5.方程的解所在区间是（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判断所给选项中的区间的两个端点的函数值的积的正负性即可选出正确答案.【详解】∵,∴,,，,∴,∵函数的图象是连续的,∴函数的零点所在的区间是.故选C【点睛】本题考查了根据零存在原理判断方程的解所在的区间,考查了数学运算能力. 6.若点在角的终边上，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据任意角的三角函数的定义及特殊角的三角函数值计算可得.【详解】解：故选：【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.7.已知，则等于()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由诱导公式化简后即可求值．【详解】＝-sin[]＝故选C．【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题．8.现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（） A.①④②③B.①④③②C.④①②③D.③④②①【答案】A【解析】【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．【详解】解：①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，在上的值为负数，故第三个图象满足；③为奇函数，当时，，故第四个图象满足；④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，故选A．【点睛】本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是（）A.若幂函数过点，则B.，C.，D.命题“，”的否定是“，”【答案】BD【解析】【分析】根据幂函数的定义判断，结合图象判断，根据特称命题的否定为全称命题可判断.【详解】解：对于：若幂函数过点，则解得，故错误；对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示 由图可知，，故正确；对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示由图可知，当时，，当时，，当时，，故错误；对于：根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“，”的否定是“，”，故正确；故选：【点睛】本题考查指数函数对数函数的性质，幂函数的概念，含有一个量词的命题的否定，属于基础题.10.已知，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据所给条件，利用同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】解：① 即，②①加②得①减②得综上可得，正确的有故选：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.11.若，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据不等式的性质进行判断.【详解】解：，由反比例函数的性质可知， ，故正确；，且，根据不等式的同向可加性知，即正确，对于，，且，无法确定与的大小关系，当，时，故错误:，，故错误；综上可得，正确的有故选：【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.12.对于函数，下列四个结论正确是（）A.是以为周期的函数 B.当且仅当时，取得最小值-1C.图象的对称轴为直线D.当且仅当时，【答案】CD【解析】【分析】求得的最小正周期为，画出在一个周期内的图象，通过图象可得对称轴、最小值和最大值，即可判断正确答案．【详解】解：函数的最小正周期为，画出在一个周期内的图象，可得当，时，，当，时，，可得的对称轴方程为，，当或，时，取得最小值；当且仅当时，，的最大值为，可得，综上可得，正确的有．故选：． 【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，主要是正弦函数和余弦函数的图象和性质的运用，考查对称性、最值和周期性的判断，考查数形结合思想方法，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题90分）三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.________.【答案】1；【解析】【分析】根据对数的运算法则计算可得.【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题.14.已知某扇形的半径为，面积为，那么该扇形的弧长为________.【答案】【解析】 【分析】根据扇形面积公式可求得答案.【详解】设该扇形的弧长为,由扇形的面积,可得,解得.故答案为.【点睛】本题考查了扇形面积公式应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.15.已知，且，，则________；=_________.【答案】(1).2(2).【解析】【分析】(1)根据指对数的互化求解即可.(2)根据(1)中再求解即可.【详解】(1)由指对数的互化,(2)故答案为(1)2;(2)【点睛】本题主要考查指对数的互化以及指数的基本运算等,属于基础题型.16.若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________.【答案】.【解析】【分析】由题意和基本不等式可得的最小值，再由恒成立可得关于的不等式，解不等式即可.【详解】解： 当且仅当，即且时取等号.恒成立，则解得即故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的应用，以及不等式恒成立的问题，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知全集为，集合，.（1）若，求实数a取值范围；（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是的什么条件（充分必要性）.①；②；③.【答案】（1）（2）选择①，则结论是不充分不必要条件；选择②，则结论是必要不充分条件；选择③，则结论是是充分不必要条件.【解析】【分析】（1）解出集合，根据补集的定义求出，由，得到关于的不等式，解得；（2）由（1）知的充要条件为，再根据集合的包含关系判断即可.【详解】解：（1）集合，所以，集合，若，且，只需，所以. （2）由（1）可知的充要条件是，选择①，且，则结论是不充分不必要条件；选择②，Ü，则结论是必要不充分条件；选择③，Ü，则结论是充分不必要条件.【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，以及充分条件必要条件的判断，属于基础题.18.已知，二次函数的图象经过点，且的解集为.（1）求实数a，b的值；（2）若方程在上有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的关系计算可得.（2）由（1）知，得方程等价于方程，令，即的两个零点满足分析可得.【详解】解：（1）因为图象经过点，所以，所以，的解集为，所以，且，且，得，故，（2）由，得方程等价于方程，令，即的两个零点满足， 所以必有，即，解得，所以实数k的取值范围是【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数以及一元二次不等式的关系，二次函数的零点问题，属于中档题.19.已知函数为奇函数.（1）求b和的值；（2）判断并用定义证明在的单调性.【答案】（1），（2）在上单调递增，在上单调递减,证明见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数性质，对，都有，得到方程求出参数的值，即可求出函数解析式，根据对数的性质可得得解.（2）利用定义法证明函数的单调性的一般步骤为：设元，作差，变形，判断符号，下结论.【详解】解：（1）因为函数为奇函数，所以对，都有，即， 解得，所以.（2）在上单调递增，在上单调递减.证明如下：，且，有因为，所以，当时，，，即，此时单调递减.当时，，，即，此时单调递增.所以，在上单调递增，在上单调递减.【点睛】本题考查根据奇偶性求函数的解析式，定义法证明函数的单调性，属于基础题.20.已知函数.（1）求函数的最小正周期及其单调递减区间； （2）若，是函数的零点，用列举法表示的值组成的集合.【答案】（1）最小正周期为;单调递减区间是（2）【解析】【分析】（1）根据正弦函数的最小正周期公式计算可得，根据正弦函数的单调性求出函数的单调区间.（2）首先求出函数的零点，得，是或中的元素，再分类讨论计算可得.【详解】解：（1）的最小正周期为：.对于函数，当时，单调递减，解得，所以函数的单调递减区间是.（2）因为，即，所以函数的零点满足：或即或所以，是或中的元素当时，则 当，（或，）时，则当，，则所以的值的集合是.【点睛】本题考查正弦函数的性质，以及函数的零点，特殊角的三角函数值，属于中档题.21.汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km的平坦高速路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：km/h）（）的下列数据：v0406080120F01020为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，.（1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式.（2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？【答案】（1）选择函数,（2）这辆车在该测试路段上以80km/h的速度行驶时总耗油量最少【解析】【分析】 （1）根据表中数据分析可知，所选模型必须满足定义域为，且在上为增函数，故选，在代入数据计算可得.（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得：，根据二次函数的性质求出最值.【详解】解：（1）由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为，且在上为增函数；函数在是减函数，所以不符合题意；而函数的，即定义域不可能为，也不符合题意；所以选择函数.由已知数据得：解得：所以，（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得： 因为，所以，当时，y有最小值30.所以，这辆车在该测试路段上以80km/h的速度行驶时总耗油量最少，最少为30L.【点睛】本题考查给定函数模型解决问题，利用待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，属于中档题.22.已知函数，.（1）若是方程的根，证明是方程的根；（2）设方程，的根分别是，，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）因为是方程的根，即，将代入根据对数的运算性质可得.（2）由题意知，方程，的根分别是，，即方程，的根分别为，，令，设方程，的根分别为，，结合（1）的结论及函数的单调性可求.【详解】解：（1）证明：因为是方程的根，所以，即所以，是方程的根.（2）由题意知，方程，的根分别是，，即方程，的根分别为，，令设方程，的根分别为，， 由（1）知是方程的根，则是方程的根.令，则是的零点，又因为是上的增函数，所以，是的唯一零点，即是方程的唯一根.所以，所以，即，所以【点睛】本题考查函数方程思想，函数的零点问题，属于难题.