期末测试卷03(本卷满分150分,考试时间120分钟)测试范围:必修第一册(人教A版2019)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合,,则集合与集合的关系是( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵,,故有,故选A。2.若命题:,则为()。A、且B、或C、且D、【答案】B【解析】∵,∴且,∴:或,故选B。3.已知,,且,则的最小值为()。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵,∴,即最小值为,故选D。4.若关于的不等式()的解集为空集,则的最小值为()。A、B、
C、D、【答案】D【解析】,,得,∴,令,则,∴,故选D。5.若函数的值域为,则实数的取值范围为()。A、B、C、D、【答案】D【解析】等价于的值域能取到内的任意实数,若,则,可取,若,则需,,解得,∴的范围为,故选D。6.已知函数(,)的最小正周期为,将的图像向右平移个单位后得函数的图像,则函数的图像()。A、关于直线对称B、关于直线对称C、关于点对称D、关于点对称【答案】D【解析】由题意得,故,∴,∴,又,∴,∴,令(),解得(),即的对称轴为(),经检验、都不符合,
∴令(),解得(),即的对称中心为(),经检验不符合,符合,故选D。7.设函数,,若实数、分别是、的零点,则下列不等式一定成立的是()。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵、连续且都为单调增函数,∴、各只有唯一一个零点,则:,,则,,,则,∴,,选A。8.已知函数,实数、、满足,其中,若实数为方程的一个解,那么下列不等式中,不可能成立的是()。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵,在定义域上是减函数,∴时,,又∵,∴一种情况是、、都为负值①,另一种情况是,,②,在同一坐标系内画函数与的图象,对于①要求、、都大于,对于②要求、都小于是,大于。
两种情况综合可得不可能成立,故选D。二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.若集合,,且,则实数的值为()。A、B、C、D、【答案】ABC【解析】,,当时,,,可取,当时,,令,,可取,令,,可取,综上、或,故选ABC。10.已知,则( )。A、B、C、D、【答案】AC【解析】原式转化为,则,∴,则或,当时,,当时,,故选AC。11.已知函数的值域为,则下列说法正确的是( )。
A、B、C、D、【答案】BC【解析】设,函数式变形为,(),由已知得,则,即,其解集为,则和是方程的两个根,应用韦达定理得,,,故选BC。12.已知为定义在内的偶函数,对都有,当任意,且时,恒成立,则下列命题正确的是()。A、B、直线是函数的图像的一条对称轴C、函数在区间内为增函数D、方程在区间内有四个实数根【答案】BD【解析】A选项,∵为上的偶函数,且对,均有,∴令得:,∴,错,B选项,∵,∴,∴是以为周期的偶函数,∴,,∴,∴图像关于对称,对,C选项,∵当且时,恒成立,∴在上为增函数,又函数是偶函数,∴在上为减函数,又函数是以为周期的函数,∴在上为减函数,错,D选项,∵在上为减函数,在上为增函数,且,∴方程在上有个实根(和),又函数是以为周期的函数,∴方程在上有个实根(),
在区间上有一个实根(),∴方程在上有个实根,对,故选BD。三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.定义集合运算,若,,则集合中的元素个数为。【答案】【解析】∵,,∴,因此中的元素个数为。14.问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高。当住第层楼时,上下楼造成的不满意度为。但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低。设住第层楼时,环境不满意程度为。则此人应选第楼,会有一个最佳满意度。【答案】【解析】设此人应选第层楼,此时的不满意程度为,由题意知,∵,当且仅当,即时取等号,但考虑到,∴当时,当时,即此人应选楼,不满意度最低。15.设函数,则函数零点的个数是。【答案】【解析】的零点相当于:与的两图像的交点,作图,有四个交点。16.将函数图像向左平移个单位,再向上平移个单位,得到图像,若,且、,则的最大值为。【答案】
【解析】由题意可得,∴,又,∴,由,得(),∵、,∴。四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知全集,非空集合,。(1)当时,求;(2)命题:,命题:,若是的必要条件,求实数的取值范围。【解析】(1)∵时,,2分,4分全集,∴,∴;5分(2)∵命题:,命题:,是的必要条件,∴,6分∵,∴,8分∵,,∴,解得或,故实数的取值范围。10分18.(本小题满分12分)定义在上的函数满足,当时有。(1)求在上的解析式;(2)判断在上的单调性并用定义证明。【解析】(1)设,则,∵,且时,,2分∴时,有,4分
在中,令,,5分综上,当时,有:;6分(2)在上是减函数,证明:设,则,,8分∴,,∴,10分∴,∴在上是减函数。12分19.(本小题满分12分)已知函数。(1)当时,求函数的单调递增区间;(2)若,求函数的值域。【解析】(1)函数,∴,2分令,,∴,∵,∴函数的单调递增区间;4分(2),6分令,∵,∴,8分∴,∴,10分
∴原式可化为,,11分∴,∴最大值为,最小值为,∴值域为。12分20.(本小题满分12分)已知函数,。(1)求函数的解析式;(2)解不等式;(3)若在上单调递增,求实数的范围。【解析】(1)∵,∴;2分(2)由可得:,等价于,解得,或,解得,4分∴原不等式的解集为;6分(3)依题意在上单调递增,7分①当时,在上单调递增,符合题意,8分②当时,为二次函数,对称轴为,9分当时,图像开口向上,只需,解得,10分当时,图像开口向下,只需,解得,11分综上:。12分21.(本小题满分12分)已知函数满足(且)。(1)判断函数的奇偶性及单调性;(2)当时,恒成立,求实数的取值范围;(3)当时,恒成立,求的取值范围。【解析】(1)令(),则,∵,
则(),2分又∵,∴为奇函数,4分又当时,为增函数,为增函数,当时,为减函数,仍为增函数,6分综上,可知是上递增的奇函数;7分(2)由(1),当时,,再由单调性及定义域可得;9分(3)设,∵是上的增函数,∴在上也递增,由得,则,要使恒成立,只需在时恒成立,11分即,解得且。12分22.(本小题满分12分)已知函数。(1)若且时,求的最大值和最小值;(2)若且时,方程有两个不相等的实数根、,求的取值范围及的值。【解析】(1)若,则,∵,∴,1分∴当时,的取得最大值为,此时在的最大值为,3分当时,的取得最小值为,此时在的最小值为;5分(2)若,,∵,∴,∴,∴,7分
当有两不等的根,结合函数的图像可得或,即,9分由得,由,得,10分即函数在内的对称性为和,两个根分别关于和对称,11分即或。12分