2021届高三下学期5月模拟检测高三理科数学一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.已知全集，，则集合A.B.C.D.2.己知i是虚数单位，复数，下列说法正确的是A.z的虚部为B.z对应的点在第一象限C.z的实部为D.z的共轭复数为3.已知向量满足，则A.3B.C.7D.4.函数且的图象大致是A.B.C.D.
1.执行如图程序框图，输出的结果为 A.1B.C.D.2.自2021年1月1日起，中华人民共和国民法典开始施行，为了解某市市民对中华人民共和国民法典的了解情况，决定发放份问卷，并从中随机抽取200份进行统计，已知该问卷满分100分，通过对随机抽取的200份问卷成绩进行统计得到了如图所示的频率分布直方图，估计这份问卷中成绩不低于80分的份数为 A.840B.720C.600D.5403.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，构成的数列的第n项，则的值为A.5049B.5050C.5051D.5101
1.已知函数的图象经过点，且将图象向左平移个长度单位后恰与原图象重合．若对任意的，，都有成立，则实数t的最大值是A.B.C.D.2.饕餮纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为A.B.C.D.3.已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点M在双曲线左支上，点N为圆上一点，则的最小值为 A.8B.9C.10D.11
1.我国古代九章算术里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛如图所示，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以则这个问题中的刍童的体积为A.立方丈B.立方丈C.53立方丈D.106立方丈2.已知，，，，则a，b，c的大小关系为 A.B.C.D.二、单空题（本大题共4小题，共20分）3.设向量，，如果向量与平行，则______．4.已知实数x，y满足不等式组，若目标函数取得最大值时的唯一最优解是，则实数a的取值范围为______．5.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在其右支上，的内切圆为，，垂足为点M，O为坐标原点，则__________．6.设是定义在R上的偶函数，，都有，且当时，，若函数在区间内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是__________．三、解答题(本大题共6小题,共70分。其中22、23为选考题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
1.（12分）设等差数列的前n项和为，且，．Ⅰ求数列的通项公式及前n项和公式Ⅱ求证：．2.（12分）已知四棱锥，底面ABCD为菱形，，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且平面AMHN．Ⅰ证明：；Ⅱ当H为PC的中点，，PA与平面ABCD所成的角为，求二面角的余弦值．
1.（12分）在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．求这4000名考生的竞赛平均成绩同一组中数据用该组区间中点作代表；由直方图可认为考生竞赛成绩z服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过分的人数估计有多少人？如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过分的考生人数为，求精确到附：，； ，则，； ．2.（12分）已知椭圆的离心率为，经过点设椭圆G的右顶点为A，过原点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点点Q在第一象限，且与线段AB交于点M．Ⅰ求椭圆G的标准方程；Ⅱ是否存在直线l，使得的面积是的面积的3倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
1.（12分）已知函数Ⅰ讨论极值点的个数；Ⅱ若是的一个极值点，且，证明：2.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．设P是曲线C上的一个动点，当时，求点P到直线l的距离的最大值；若曲线C上所有的点均在直线l的右下方，求a的取值范围．3.【选修：不等式选讲】（10分）已知函数．解关于x的不等式；设，若关于x的不等式的解集非空，求a的取值范围．
答案解析1.D【解析】，，，故A，故C，故选：D．2.D【解析】，的实部为1，虚部为；z对应的点的坐标为，在第四象限z的共轭复数为．故ABC错误，D正确故选D．3.B【解析】向量满足，，，，，故选：B4.B【解析】函数且是偶函数，故排除A．当时，
，得，令，作出与图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数在上有一个极值点，故排除D．，故排除C．故选B．5.C【解析】由程序框图知，第一次循环，，，故，；第二次循环，，，故，；第三次循环，，，故，不成立，循环结束，输出，故选C．6.A【解析】由频率分布直方图知，随机抽取的200份问卷中成绩不低于80分的频率为，则这3000份问卷中成绩不低于80分的概率为，所以可估计这3000份问卷中成绩不低于80分的份数为．故选A．7.B【解析】设第n个数为
，则，，，，，叠加可得，，故选：B．8.A【解析】由函数的图象经过点得，解得，又图象向左平移个长度单位后恰与原图象重合，所以，解得，结合，可得，所以．对任意的，，都有成立，即对任意的，，，由于在上单调递增，且最小值为，最大值为，所以时满足题意；由于在上单调递减，且最小值为，最大值为，所以
时满足题意；当时，，不满足题意，故，即实数t的最大值是．故选A．9.B【解析】点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，则有右，右，右，右，右，下，右，下，右下，右，右，右，下，下，下，右，下，下，下，右，下，下，下共8种不同的跳法线路，符合题意的只有下，下，右这1种，所以三次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为．故选B．10.B【解析】由题意可得，即，渐近线方程为，即有，即，可得双曲线方程为，焦点为，．由双曲线的定义可得．由圆可得圆心，半径，．如图，连接，交双曲线于M，交圆于N，可得取得最小值，且
，则的最小值为．故选B．11.B【解析】由题意知，刍童的体积为立方丈，故选B．12.D【解析】已知，则，，，则，，，故．故选D．13.【解析】，，与平行，，解得，则．故答案为：．
14.【解析】不等式的可行域，如图所示令，则可得，当z最大时，直线的纵截距最大，画出直线将a变化，结合图象得到当时，直线经过时纵截距最大故答案为15.1【解析】如图延长，使交于点H．由双曲线的定义可得．因为OM为的中位线，所以．故答案为1．16.【解析】设是定义在R上的偶函数，，都有，，，的周期为4，
函数在区间内恰有三个不同零点，令，与有3个交点，结合题意画出函数在上的图象与函数的图象，若，要使与的图象，恰有3个交点，如图，则即，解得即，若，要使与的图象，恰有3个交点，如图，
则即解得，即，综上a的取值范围是17.Ⅰ解：由题意，设等差数列的公差为d，则，即，解得．，．．Ⅱ证明：由知，当时，
．当时，．故得证．18.Ⅰ证明：连接AC交BD于O，因为ABCD为菱形，所以，且O为AC、BD的中点，，．，且面PAC、面PAC．面PAC．面PAC，．平面AMHN，且面平面，面PBD，．．Ⅱ解：由Ⅰ得且，，且O为AC中点，
，又，面ABCD，面ABCD，面ABCD， 与平面 ABCD 所成的角为．可得，，，．以O为原点，建立如图的空间直角坐标系．记，0，，0，，，，0，，，，，设平面 AMHN的法向量为y，，由，取，可得．设平面PAB的法向量为
，由，取，可得，所以二面角 的余弦值为：．19.解：由题意知：，名考生的竞赛平均成绩为．依题意z服从正态分布，其中，，，服从正态分布，而，．竞赛成绩超过的人数估计为人人．全市竞赛考生成绩不超过的概率为．而，．20.解：Ⅰ由题意可知：，解得．椭圆G的标准方程为．Ⅱ设，则，可知，
．若使的面积是的面积的3倍，只需使得，即，即．由，，直线AB的方程为．点M在线段AB上，，整理得，点Q在椭圆G上，，把式代入式可得，判别式小于零，该方程无解．不存在直线l，使得的面积是的面积的3倍．21.Ⅰ解：，若，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，是的一个极值点；若，令，解得，，当，即时，恒成立，则没有极值点；当，即时，或时，，时，，此时
有两个极值点；当，即时，或时，，时，，此时有两个极值点；综上，时，无极值点；时，有一个极值点；或时，有两个极值点．Ⅱ证明：由Ⅰ知，或，又，则，则，令，，则，，，则时，，时，，则是的极大值点，，故，即．22.解：由，得，化成直角坐标方程得，直线l的方程为，依题意，设，则P到直线l的距离，当，即，时，，故点P到直线l的距离的最大值为．因为曲线C上的所有点均在直线l的右下方，
，恒成立，即 其中恒成立，，又，解得，故a取值范围23.解：由得，即或解得或由，得，不成立．无实数解．原不等式的解集为．的解集非空，即有解，当时，由得，，当时，无解．当时，不等式化为函数在上为单调递减函数，当时，的最小值为．．当时，由得，而时，等号成立．的最小值为．综上所述，a的取值范围是．
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