黑龙江省2021届高三下学期第四次模拟考试文科数学（含答案）

2018级高三第四次模拟考试文科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（）A．B．C．D．2．2021年我国推进新冠疫苗全人群免费接种，某小区年龄分布如下图所示，现用分层抽样的方法从该小区所有人中抽取60人进行抗体检测，则从40岁至50岁之间的人群中抽取人数为（）．A．18B．24C．5D．93．已知为等差数列，为其前项和.若，则（）A．B．C．D．4．一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B．C．D．5．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是．那么后物体的温（单位：℃）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，以后物体的温度是38℃，则k的值约为（）A．B．C．D．6.设向量，，，且，则（）A．B．C．D．7．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．8．已知直线与轴，轴分别交于两点，若动点在线段上，则的最大值为A．B．2C．3D． 9．的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（）A．B．C．D．10．已知双曲线的渐近线与圆相切，则（）A．3B．C．D．11．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值为，则（）A．B．C．D．12．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=“收入”－“个税起征点”－“专项附加扣除”：（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用…等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元.新的个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级…每月应纳税所得额元（含税）…税率（%）31020…现有李某月收入为19000元，膝下有一名子女，需赡养老人（除此之外无其它专项附加扣除），则他该月应交纳的个税金额为A．570B．890C．1100D．1900二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.如图，在复平面内，复数对应的点为，则复数的虚部为14.已知实数满足条件：，则的最大值为___15．已知抛物线的焦点为F，点A为抛物线C上横坐标为3的点，过点A的直线交x轴的正半轴于点B，且为正三角形，则16．在几何学的定义中，空间中点到几何图形的距离是这一点到这个几何图形上各点距离中最短的距离.（1）在空间中，到定点的距离为的点围成的几何体的表面积为________；（2）在空间中，定义边长为的正方形区域（包括边界以及内部的点）为，则到距离等于的点所围成的几何体的体积为________三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分） 某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：分钟）如图所示.（1）从2011年至2020年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；（2）将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为，试分析哪种影片时长的方差最大。（不用计算，简要说明理由）18．（本小题满分12分）已知函数()，再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求：（1）的值；（2）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．条件①：的最大值为2；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形．且平面，M，N分别为的中点．（1）求证：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知函数.（1）若，求的最小值；（2）求函数的单调区间.21．（本小题满分12分）已知椭圆的焦点在x轴上，且经过点，左顶点为D，右焦点为F．（1）求椭圆的离心率和的面积；（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，过点B作直线的垂线，垂足为G，判断是否存在常数t，使得直线经过y轴上的定点？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．请考生在题22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）数学中有许多寓意美好的曲线，在花语中，四叶草象征着幸运.已知在极坐标系下，曲线：（如图所示）被我们形象地称为“四叶草”.（1）当时，求以极点为圆心的单位圆与曲线的交点的极坐标；（1）射线的极坐标方程分别为，分别交曲线于点两点，求的值．23．（本小题满分10分）已知函数.（1）若，画出函数的图象，并求出的最值；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围. 1—12DACDADABCBB13.1；14.10；15.2；16.；17．（1）从2011年至2020年中任选一年，动画影片时长大于纪录影片时长的年份分别是2011年，2015年，2017年，2018年，2019年和2020年，共6年.记从2011年至2020年中任选一年，此年动画影片时长大于纪录影片时长为事件，则.（2）科教影片所记录时长波动较大，方差最大.18．（1）选择①：因为所以，其中，所以，又因为，所以．选择②：，所以．（2）因为所以则，，所以函数的单调增区间为19．（1）连结，分别是的中点，，平面，平面，平面；（2）与平面所成角的正弦值是.20．（1）若，定义域为，，由可得，由可得，（备注：需要列表说明）所以在单调递减，在单调递增，所以的最小值为；（2）①当时，，由可得，由可得， 此时的单调递减区间为，单调递增区间为，②当时，由可得或由可得，此时的单调递减区间为，单调递增区间为和，③当时，恒成立，此时的单调递增区间为，④当时，由可得或，由可得，此时的单调递减区间为，单调递增区间为和，综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和，当时，的单调递增区间为，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和，21.（1）依题意，，解得．因为，即，所以，，所以离心率，的面积．（2）由已知，直线的方程为，当时，直线的方程为，交y轴于点；当时，直线的方程为，交y轴于点．若直线经过y轴上定点，则，即，直线交y轴于点．下面证明存在实数，使得直线经过y轴上定点． 联立消y整理，得，设，．则，．设点，所以直线的方程：．令，得．因为，所以．所以直线过定点．综上，存在实数，使得直线经过y轴上定点．22.（1）以极点为圆心的单位圆的极坐标方程为：，所以联立，得或，所以所求交点的极坐标为和.（2）23．（1）若，则则函数的图象如图所示，由图像可知的最小值为-2，无最大值.（2）由恒成立，得恒成立，因为，所以，即，解得，故的取值范围为.