河北省唐山市2021届高三下学期第三次模拟演练数学（含答案）

唐山市2021年普通高等学校招生统一考试第三次模拟演练数学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{x|x2－3x＜0}，则A∩B＝A．{2}B．{1，2}C．{2，3}D．{1，2，3}2．已知i是虚数单位，a∈R，若复数为纯虚数，则a＝A．－2B．2C．－D．3．已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（－1，－2），则sin2α＋sin2α＝A．B．C．D．4．已知log212＝m，则log312＝A．B．C．D．5．已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为A．3B．6C．9D．186．(1＋ax)10(其中a≠0)的展开式的常数项与其各项系数之和相等，则其展开式中x2的系数为A．－45B．45C．－180D．1807．赤道式日晷（guǐ）是利用日影变化规律制成的天文记时仪器(如下左图)，“日”指“太阳”，“晷”表示“影子”，“日晷”的意思为“太阳的影子”。晷针在晷面上的日影自西向东慢慢移动，晷面的刻度（如下右图）是均匀的，移动的晷针日影犹如现代钟表的指针，日影落在晷面相应的刻度上便可读取时间。晷面上刻有十二个时辰，用十二地支表示，每个时辰大约2小时，正子时表示凌晨0点左右，则下右图表示的时间大约是几点钟？若再过31个小时大约是哪个时辰？A．4点，戌时B．5点，亥时C．9点，申时D．10点，酉时8．已知函数f(x)＝，则不等式f(x)＋f(x2)＞0的解集为 A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知函数f(x)＝x＋(x＞0)，若f(a)＝f(b)，且a＜b，则下列不等式成立的有A．ab＝1B．a2＋b2＞2C．＋≥2D．logab＜logba10．下列说法正确的是A．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为B．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为C．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝D．若随机变量η～N(2，σ2)，且δ＝3η＋1，则P(η＜2)＝0.5，E(δ)＝6CDABEF11．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，如图所示，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则A．AC与EF所成的角为45°B．EF⊥BCC．过EF且与BD平行的平面截四面体A-BCD所得截面的面积为D．四面体A-BCD的外接球的表面积为8π12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线G：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P(，1)射入，经过G上的点A(x1，y1)反射后，再经G上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则A．y1y2＝－1B．|AB|＝C．PB平分∠ABQD．延长AO交直线x＝－于点C，则C，B，Q三点共线 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝12，S7＝119，则an＝________．14．在△ABC中，AB＝AC，点P为线段AC上的动点，|BC|＝4，则·的取值范围是________．15．已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧棱长均为3，则该四棱锥的体积的最大值为________．16．关于x的不等式x2－a(x－1)ex＜0恰有一个整数解，则实数a的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）ABCDＥ如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝，点E是AD上的一点，DE＝2AE＝4，2BCcos∠BEC＝BEcos∠EBC＋CEcos∠ECB．（1）求∠BEC的大小；（2）若△BCE的面积S为8，求BC．18．（12分）若数列{an}及{bn}满足且a1＝1，b1＝6．（1）证明：bn＝3an＋3（n∈N*）；（2）求数列{an}和{bn}的通项公式．19．（12分）在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝，CD＝2，PD⊥BC，AC⊥PB．（1）证明：PD⊥平面ABCD；BCADP（2）若二面角D-PB-C的余弦值为，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 20．（12分）某种病毒在进入人体后有潜伏期，患者在潜伏期内无任何症状，但已具传染性。假设一位病毒携带者在潜伏期内每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率为p．（1）若n＝3，p＝，求一天内被一位病毒携带者直接感染人数X的分布列和均值；（2）某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，需要检测血液样本是否为阳性，有以下两种检验方式：①逐份检验，即k份血液样本需要检验k次；②混合检验，即将k份（k∈N*且k≥2）血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k份血液样本全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液样本究竟哪份为阳性，就要对k份血液样本再逐份检验，此时这k份血液样本的检验次数为k＋1次．假设样本的检验结果相互独立，且每份样本检验结果是阳性的概率为p＝1－，为使混合检验需要的检验的总次数ζ的期望值比逐份检验的总次数η的期望值更少，求k的取值范围．参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln4≈1.3863，ln5≈1.6094，ln6≈1.7918．21．（12分）已知函数f(x)＝(x－1)lnx．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）设b＞a＞0，证明：f()＜．22．（12分）在直角坐标系xOy中，A(－1，0)，B(1，0)，C为动点，设△ABC的内切圆分别与边AC，BC，AB相切于点P，Q，R，且|CP|＝1，记点C的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）不过原点O的直线l与曲线E交于M，N两点，且直线y＝－x经过MN的中点T，求△OMN的面积的最大值．欢迎访问“高中试卷 唐山市2021年普通高等学校招生统一考试第三次模拟演练数学参考答案一、选择题：BABBCDCD二、选择题ABCACCDBCD三、填空题：13．5n－314．[8，16]15．416．－≤a＜0四、解答题：17．解：（1）∵2BCcos∠BEC＝BEcos∠EBC＋CEcos∠ECB＝BE•＋CE•＝BC∴cos∠BEC＝，则∠BEC＝．…4分（2）设∠AEB＝α，则∠DEC＝－α，(0＜α＜)∵DE＝2AE＝4，∴BE＝＝，CE＝＝，∵△BCE的面积S＝BE·CE·sin＝＝，∴由已知得：＝8∴sin(2α－)＝1，则2α－＝，即α＝此时BE＝＝4，CE＝＝8 ∴在△BCE中，由余弦定理得：BC2＝BE2＋CE2－2BE·CE·cos∠BEC＝48∴BC＝4．…10分18．解：（1）∵an＋1＝an＋bn，bn＋1＝3an＋bn＋3，(n∈N*)，∴bn＋1＝3an＋1＋3，∴当n≥2且n∈N*时，有bn＝3an＋3，又a1＝1，b1＝6，也满足b1＝3a1＋3，∴对任意的n∈N*，都有bn＝3an＋3．…6分（2）将bn＝3an＋3代入an＋1＝an＋bn，得an＋1＝2an＋1，进而an＋1＋1＝2(an＋1)，a1＋1＝2，∴数列{an＋1}是首项为2，公比也为2的等比数列，∴an＋1＝2n，an＝2n－1．∴bn＝3an＋3＝3·2n．…12分19．解：（1）由tan∠ADB＝，tan∠ACD＝，得∠ADB＝∠ACD，所以∠DAC＋∠ADB＝∠DAC＋∠ACD＝，即AC⊥BD，又AC⊥PB，PB∩BD＝B，则有AC⊥平面PBD，又PDÌ平面PBD，所以AC⊥PD，又PD⊥BC，AC∩BC＝C，所以PD⊥平面ABCD．…5分（2）yzxBCADP如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系D－xyz，设DP＝h，则 D(0，0，0)，A(，0，0)，B(，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，h)，＝(0，2，－h)，＝(－，1，0)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，·n＝2y－hz＝0，·n＝－x＋y＝0，取y＝h，则x＝h，z＝2，所以n＝(h，h，2)，而平面PBD的一个法向量为＝(－，2，0)，cosán，ñ＝＝＝，解得h＝，＝(，1，－)，易知AD⊥平面PCD，所以＝(，0，0)是平面PCD的一个法向量，设直线PB与平面PCD所成的角为θ，则sinθ＝|cosá，ñ|＝，故直线PB与平面PCD所成的角的正弦值为．…12分20．解：（1）若n＝3，p＝，依题意可知X服从二项分布，即X～B(3，)，从而P(X＝i)＝C()i()3-i，i＝0，1，2，3．X0123P随机变量X的分布列为：随机变量X的均值为E(X)＝3×＝1．…4分（2）由题意知ζ的所有可能取值为1，k＋1，且P(ζ＝1)＝(1－p)k，P(ζ＝k＋1)＝1－(1－p)k，∴E(ζ)＝(1－p)k＋(k＋1)[1－(1－p)k]＝k＋1－k(1－p)k，又∵E(η)＝k，依题意E(ζ)＜E(η)，即：k＋1－k(1－p)k＜k，∴＜(1－p)k， ∵p＝1－，∴＜()k，∴lnk＞k．设f(x)＝lnx－x，易知f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，由于f(1)＝－＜0，f(2)＝ln2－＞0，f(4)＝ln4－＝0.0530＞0，f(5)＝ln5－＝－0.0573＜0，故k的取值范围为2≤k≤4且k∈N*．…12分 21．解：（1）函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f¢(x)＝lnx＋1－，显然f¢(x)为增函数，又f¢(1)＝0，所以，当0＜x＜1时，f¢(x)＜0，当x＞1时，f¢(x)＞0，即f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．…4分（2）令g(x)＝f(x)＋f(a)－2f()，x∈(a，＋∞)．则g¢(x)＝f¢(x)－f¢()，因为x＞a，所以x＞，由（1）知，f¢(x)－f¢()＞0，即g¢(x)＞0，因此可得，g(x)在(a，＋∞)上单调递增，从而g(x)＞g(a)＝0，于是g(b)＞0，故f()＜．…12分22．解：（1）依题意可知，|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，所以曲线E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（除去与x轴的交点），因此曲线E的方程为＋＝1(y≠0)．…4分（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋m（m≠0），代入＋＝1整理得，(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，（*）则x1＋x2＝，x1x2＝，所以y1＋y2＝，得MN的中点T(，)，直线y＝－x经过MN的中点T，得＝－·，又m≠0，所以直线l的斜率k＝．…8分（*）式可化简为3x2＋3mx＋m2－3＝0，x1＋x2＝－m，x1x2＝，由D＝36－3m2＞0，且m≠0，得－2＜m＜2且m≠0，|MN|＝|x2－x1|＝·， 点O到直线l的距离d＝，则△OMN的面积S＝|MN|d＝···＝≤·＝，当且仅当m＝±时，等号成立．满足－2＜m＜2且m≠0，所以△OMN的面积的最大值为．…12分