浙江省普通高中强基联盟协作体2021届高三下学期5月统测数学（含答案）

2020学年第二学期浙江省普通高中强基联盟协作体高三统测数学本试卷分选择题和非选择题两部分考试时间120分钟．试卷总分为150分．请考生按规用笔并将答案涂写在答题纸相应位置上．参考公式：若事件，互斥，则．若事件，相互独立，则．若事件在一次试验中发生的概率是，则次独立重复试验中事件恰好发生次的概率．台体的体积公式．其中，分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高．柱体的体积公式．其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．锥体的体积公式．其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．球的表面积公式．球的体积公式．其中表示球的半径．选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知集合，，则A．B．C．D． ⒉若复数为纯虚数，则的值为A．1B．C．2D．3．已知实数，满足，则的最小值等于A．4B．C．D．4．函数的图象大致是ABCD5．：直线与圆有公共点；：点在圆外．则是的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．袋中有大小相同的2红4绿共6个小球，随机从中摸取1个小球，甲方案为有放回地连续摸取3次，乙方案为不放回地连续摸取3次．记甲方案下红球出现的次数为随机变量，乙方案下红球出现的次数为随机变量，则A．，B．，C．，D．，7．已知，对任意的，．方程在上有解，则的取值范围是A．B．C．D．8．在三棱锥中，，，二面角的大小为 ，则，可能是A．，B．，C．，D．，9．已知数列满足，且对任意，，，数列的前项和为，则的整数部分是A．2021B．2022C．2023D．202410．已知，，是函数和函数交点的横坐标，是函数和函数交点的横坐标，则A．B．C．D．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，每空3分，单空题每小题4分，共36分．11．双曲线的焦点坐标是___________，渐近线方程为___________．12．已知，则__________，__________．13．一几何体的三视图如图所示，则其外接球的体积等于__________，内切球的表面积等于__________．14．在中，，为的中点，，则__________，面积的最大值为__________．15．强基联盟体中，，，四所兄弟学校开展选考7个学科教研交流活动．，， 每校承担两个学科，校承担技术学科，校不承担物理化学两个学科，校不承担政治历史两个学科，则这次教研交流活动不同的安排方案共有___________．16．已知，，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为___________种．17．已知，存在实数，使，则的取值范围为___________．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）已知函数是上的增函数，且图象关于直线对称．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，若，求．19．（本题满分15分）在直角梯形中，，将沿翻折至位置，作于点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当二面角最大时，求直线与平面所成角的正弦值．20．（本题满分15分）在等比数列中，为其前项和，，数列是等差数列． （Ⅰ）求；（Ⅱ）若，证明：．21．（本题满分15分）已知且满足的动点的轨迹为．（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；（Ⅱ）如图，过点的斜率大于零的直线与曲线交于，两点，，直线交曲线于另外一点，证明直线过定点．22．本题满分15分）已知，．（Ⅰ）若在点处的切线斜率为，求实数的值；（Ⅱ）若有两个零点，且，求证：．2020学年第二学期浙江省普通高中强基联盟协作体高三统测数学参考答案一、选择题题号12345678910答案CADBBCDCBA二、填空题 11．；12．2；113．；14．1；15．1916．17．三、解答题．18．解：（Ⅰ）由题知是上的增函数，∴，所以．又∵图象关于直线对称，∴，，∴，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，∴，又，所以．19．（Ⅰ）证明：∵，，，∴平面．，∴平面，平面，∴．又，，∴平面，平面，∴． （Ⅱ）解：由（I）知，平面，∴是二面角的平面角，由正弦定理得，∴．∴当时，取得最大值，此时，两点重合．过点作交于点，过点作于点，连接，过点作于点．∵平面，平面，∴平面平面，∴平面，，又，∴平面，平面，∴平面平面，又．∴平面，为到平面的距离．……设，则，，，∴，，∴．20．（Ⅰ）解：设公比为，∵数列是等差数列，∴，∴，解得或，或．（Ⅱ）证明：∵，∴，， ∴．又∵，∴．当时，．思路2：．21．（Ⅰ）解：∵，且，等式两边平方整理得．（Ⅱ）证明：设，，．由两式相减得．所以直线的方程为，整理得（*）．因为点在直线上，所以①，同理直线的方程为，因为点在直线上，所以②．由①②两式得，整理得． 由（*）式知直线的方程为，所以，整理得直线的方程为，所以直线过定点．22．（Ⅰ）解：，，由，得．（Ⅱ）证明：有两个零点，即有两个不等根，，即，即．令，则．记，则．记，则，所以，即，即在上单调递增，即，所以， 所以．