2022年中考数学冲刺压轴题《因动点产生的直角三角形问题》含答案

1.3因动点产生的直角三角形问题例1如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．（1）当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值；（2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；（3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．图1 例2如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的式子表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．图1 例3如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1 例4如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4,0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．图1 例5在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值． 例6设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．（1）已知直线①；②；③；④和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．图1 例7在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．（1）求点B的坐标；（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．图1 例8如图1，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面积？图1 1.3因动点产生的直角三角形问题答案例1如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．（1）当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值；（2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；（3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口25”，拖动直角顶点C运动，可以体验到，CG＝2GB保持不变，△ABC的形状在改变，EA＝EM保持不变．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动E在射线CD上运动，可以体验到，△AEG可以两次成为直角三角形．思路点拨1．第（1）题中的△CEF和△CAF是同高三角形，面积比等于底边的比．2．第（2）题中的△ABC是斜边为定值的形状不确定的直角三角形．3．第（3）题中的直角三角形AEG分两种情况讨论．满分解答（1）如图2，由CE//AB，得．由于△CEF与△CAF是同高三角形，所以S△CEF∶S△CAF＝3∶13．（2）如图3，延长AG交射线CD于M．图2 由CM//AB，得．所以CM＝2AB＝26．由CM//AB，得∠EMA＝∠BAM．又因为AM平分∠BAE，所以∠BAM＝∠EAM．所以∠EMA＝∠EAM．所以y＝EA＝EM＝26－x．图3图4（3）在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝5，所以BC＝12．①如图4，当∠AGE＝90°时，延长EG交AB于N，那么△AGE≌△AGN．所以G是EN的中点．所以G是BC的中点，BG＝6．②如图5，当∠AEG＝90°时，由△CAF∽△EGF，得．由CE//AB，得．所以．又因为∠AFG＝∠BFA，所以△AFG∽△BFA．所以∠FAG＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．作GH⊥AH，那么BH＝AH＝．在Rt△GBH中，由cos∠B＝，得BG＝÷＝．图5图6考点伸展第（3）题的第②种情况，当∠AEG＝90°时的核心问题是说理GA＝GB．如果用四点共圆，那么很容易．如图6，由A、C、E、G四点共圆，直接得到∠2＝∠4．上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图7，当∠AEG＝90°时，设AG的中点为P，那么PC和PE分别是Rt△ACG和Rt△AEG斜边上的中线，所以PC＝PE＝PA＝PG．所以∠1＝2∠2，∠3＝2∠5． 如图8，在等腰△PCE中，∠CPE＝180°－2(∠4＋∠5)，又因为∠CPE＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．所以∠2＝∠4＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．图7图8例2如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的式子表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“14苏州29”，拖动y轴正半轴上表示实数m的点运动，可以体验到，点E、D、F到x轴的距离都为定值．思路点拨 1．不算不知道，一算真奇妙．通过二次函数解析式的变形，写出点A、B、F的坐标后，点D的坐标也可以写出来．点E的纵坐标为定值是算出来的．2．在计算的过程中，第（1）题的结论及其变形反复用到．3．注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F作AD的平行线与x轴的交点，就是要求的点G．满分解答（1）将C(0,－3)代入y＝a(x2－2mx－3m2)，得－3＝－3am2．因此．（2）由y＝a(x2－2mx－3m2)＝a(x＋m)(x－3m)＝a(x－m)2－4axm2＝a(x－m)2－4，得A(－m,0)，B(3m,0)，F(m,－4)，对称轴为直线x＝m．所以点D的坐标为(2m,－3)．设点E的坐标为(x,a(x＋m)(x－3m))．如图2，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D′、E′．由于∠EAE′＝∠DAD′，所以．因此．所以am(x－3m)＝1．结合，于是得到x＝4m．当x＝4m时，y＝a(x＋m)(x－3m)＝5am2＝5．所以点E的坐标为(4m,5)．所以．图2图3（3）如图3，由E(4m,5)、D(2m,－3)、F(m,－4)，可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3．那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G．证明如下：作FF′⊥x轴于F′，那么．因此．所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形．此时GF′＝4m．所以GO＝3m，点G的坐标为(－3m,0)． 考点伸展第（3）题中的点G的另一种情况，就是GF为直角三角形的斜边．此时．因此．所以．此时．例3如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形．拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，∠DBQ和∠BDQ可以成为直角．请打开超级画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形．拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，∠DBQ和∠BDQ可以成为直角．思路点拨1．第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ＝DC列方程．2．第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m 的值画一个准确的示意图，先得到结论．3．第（3）题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．满分解答（1）由，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)．（2）直线DB的解析式为．由点P的坐标为(m,0)，可得，．所以MQ＝．当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形．解方程，得m＝4，或m＝0（舍去）．此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,－2)，Q(4,－6)．所以MN＝NQ＝4．所以BC与MQ互相平分．所以四边形CQBM是平行四边形．图2图3（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(－2,0)，(6,－4)．考点伸展第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为．①如图3，当∠DBQ＝90°时，．所以．解得x＝6．此时Q(6,－4)．②如图4，当∠BDQ＝90°时，．所以．解得x＝－2．此时Q(－2,0)． 图3图4例4如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4,0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“12广州24”，拖动点M在以AB为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．请打开超级画板文件名“12广州24”，拖动点M在以AB为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．思路点拨1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个． 2．当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．3．灵活应用相似比解题比较简便．满分解答（1）由，得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4,0)、B(2,0)．对称轴是直线x＝－1．（2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等．过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′．设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以．所以，点D的坐标为．因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐标为．图2图3（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M．以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了．联结GM，那么GM⊥l．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A＝6．所以点M1的坐标为(－4,6)，过M1、E的直线l为．根据对称性，直线l还可以是．考点伸展第（3）题中的直线l恰好经过点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4． 在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5．因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直线CM过点C．例5在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．动感体验请打开几何画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上．请打开超级画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上．思路点拨1．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是．题目中的k都是一致的．2．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O．3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是．当k＝－2时，反比例函数的解析式是． （2）在反比例函数中，如果y随x增大而增大，那么k＜0．当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大．图1抛物线y＝k(x2＋x＋1)＝的对称轴是直线．所以当k＜0且时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．（3）抛物线的顶点Q的坐标是，A、B关于原点O中心对称，当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．由OQ2＝OA2，得．解得（如图2），（如图3）．图2图3考点伸展如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线（k＞0）交于A、B和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形．问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A、C关于直线y＝x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形．因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形．图4图5 例6设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．图1（1）已知直线①；②；③；④和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．动感体验请打开几何画板文件名“11浙江23”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，∠APB有两个时刻可以成为直角，此时△BCP∽△POA．答案（1）直线①和③是点C的直角线．（2）当∠APB＝90°时，△BCP∽△POA．那么，即．解得OP＝6或OP＝1．如图2，当OP＝6时，l1：，l2：y＝－2x＋6．如图3，当OP＝1时，l1：y＝3x＋1，l2：． 图2图3例7在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．（1）求点B的坐标；（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．图1 动感体验请打开几何画板文件名“10北京24”，拖动点P从O向A运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线．思路点拨1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t的式子表示这些线段的长．3．点C的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长．4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t的方程就可以求解了．满分解答(1)因为抛物线经过原点，所以．解得，（舍去）．因此．所以点B的坐标为（2，4）．(2)①如图4，设OP的长为t，那么PE＝2t，EC＝2t，点C的坐标为(3t,2t)．当点C落在抛物线上时，．解得．②如图1，当两条斜边PD与QM在同一条直线上时，点P、Q重合．此时3t＝10．解得．如图2，当两条直角边PC与MN在同一条直线上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此时．解得．如图3，当两条直角边DC与QN在同一条直线上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此时．解得．图1图2图3 考点伸展在本题情境下，如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切，求t的值．如图5，当P、Q重合时，两圆内切，．如图6，当两圆外切时，．图4图5图6例8如图1，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面积？图1动感体验请打开几何画板文件名“09嘉兴24”，拖动点B在AN 上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；∠CAB和∠ACB可以成为直角，∠CBA不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U”形，当AB等于1.5时，面积达到最大值．思路点拨1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x的不等式组，可以求得x的取值范围．2．分类讨论直角三角形ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．3．把△ABC的面积S的问题，转化为S2的问题．AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论，分CD在三角形内部和外部两种情况．满分解答（1）在△ABC中，，，，所以解得．（2）①若AC为斜边，则，即，此方程无实根．②若AB为斜边，则，解得，满足．③若BC为斜边，则，解得，满足．因此当或时，△ABC是直角三角形．（3）在△ABC中，作于D，设，△ABC的面积为S，则．①如图2，若点D在线段AB上，则．移项，得．两边平方，得．整理，得．两边平方，得．整理，得所以（）．当时（满足），取最大值，从而S取最大值． 图2图3②如图3，若点D在线段MA上，则．同理可得，（）．易知此时．综合①②得，△ABC的最大面积为．考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设，例如在图2中，由列方程．整理，得．所以．因此．