2022年中考数学冲刺压轴题《因动点产生的相似三角形问题》含答案

因动点产生的相似三角形问题例1如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2,m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n,2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．图1 例2如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．图1图2 例3如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．图1 例4如图1，已知抛物线的方程C1：(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2,2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．图1 例5如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1图2 例6如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图1 因动点产生的相似三角形问题答案例1如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2,m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n,2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．思路点拨1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．2．求△ABC的面积，一般用割补法．3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．满分解答（1）将点A(2,m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2,4)．将点A(2,4)代入，得k＝8．（2）将点B(n,2)，代入，得n＝4．所以点B的坐标为(4,2)． 图2设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4,2)，得b＝－2．所以点C的坐标为(0,－2)．由A(2,4)、B(4,2)、C(0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝，BC＝，∠ABC＝90°．所以S△ABC＝＝＝8．（3）由A(2,4)、D(0,2)、C(0,－2)，得AD＝，AC＝．由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：①如图3，当时，CE＝AD＝．此时△ACD≌△CAE，相似比为1．②如图4，当时，．解得CE＝．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10,8)．图3图4考点伸展第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8． 图5例2如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．图1图2动感体验请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点P运动，可以体验到，若△BPQ可以两次成为直角三角形，与△ABC相似．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．PQ的中点H在△ABC的中位线EF上． 思路点拨1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．满分解答（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．△BPQ与△ABC相似，存在两种情况：①如果，那么．解得t＝1．②如果，那么．解得．图3图4（2）作PD⊥BC，垂足为D．在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．所以，即．解得．图5图6（3）如图4，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E．由于H是PQ的中点，HF//PD，所以F是QD的中点．又因为BD＝CQ＝4t，所以BF＝CF．因此F是BC的中点，E是AB的中点．所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上． 考点伸展本题情景下，如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切，求t的值．如图7，当⊙H与AB相切时，QP⊥AB，就是，．如图8，当⊙H与BC相切时，PQ⊥BC，就是，t＝1．如图9，当⊙H与AC相切时，直径，半径等于FC＝4．所以．解得，或t＝0（如图10，但是与已知0＜t＜2矛盾）．图7图8图9图10例3如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1动感体验请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．满分解答（1）B的坐标为(b,0)，点C的坐标为(0,)．（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．设点P的坐标为(x,x)．如图3，联结OP．所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．解得．所以点P的坐标为()．图2图3（3）由，得A(1,0)，OA＝1．①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．当，即时，△BQA∽△QOA．所以．解得．所以符合题意的点Q为()．②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°． 所以C、Q、B三点共线．因此，即．解得．此时Q(1,4)．图4图5考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．例4如图1，已知抛物线的方程C1：(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2,2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但是∠BFC在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠CBF保持45°，存在∠BFC＝∠BCE的时刻． 思路点拨1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．满分解答（1）将M(2,2)代入，得．解得m＝4．（2）当m＝4时，．所以C(4,0)，E(0,2)．所以S△BCE＝．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．设对称轴与x轴的交点为P，那么．因此．解得．所以点H的坐标为．（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即时，△BCE∽△FBC．设点F的坐标为，由，得．解得x＝m＋2．所以F′(m＋2,0)．由，得．所以．由，得．整理，得0＝16．此方程无解．图2图3图4②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以，即时，△BCE∽△BFC． 在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．由，得．解得．综合①、②，符合题意的m为．考点伸展第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．例5如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I 上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．思路点拨1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M（1，）．（2）梯形O1A1B1C1的面积，由此得到．由于，所以．整理，得．因此得到．当S=36时，解得此时点A1的坐标为（6，3）．（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．由于，，所以．解得． 图3图4考点伸展第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．例6如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图1动感体验请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景． 双击按钮“第(3)题”，拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的坐标（0，－2），解得．所以抛物线的解析式为．（2）设点P的坐标为．①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，，．如果，那么．解得不合题意．如果，那么．解得．此时点P的坐标为（2，1）．②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，，．解方程，得．此时点P的坐标为．解方程，得不合题意．③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，，．解方程，得．此时点P的坐标为．解方程，得．此时点P与点O重合，不合题意． 综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或或．图2图3图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为．设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为．所以．因此．当时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．图5图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．设点D的横坐标为（m，n），那么．由于，所以．