2022年中考数学二轮复习专题《矩形、菱形、正方形》练习册 (含答案)

　第2课时　矩形、菱形、正方形基础达标训练1.(2017聊城)如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是(　　)A.AB＝ACB.AD＝BDC.BE⊥ACD.BE平分∠ABC第1题图2.(2017长沙)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为(　　)A.5cmB.10cmC.14cmD.20cm第2题图第3题图3.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是(　　)A.3B.4C.5D.64.下列说法正确的是(　　)A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形5.(2017陕西)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3.若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为(　　)A.B.C.D.第5题图6.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD上，且EB平分∠AEC，则△ABE的面积为(　　)A.2.4B.2C.1.8D.1.5第6题图7.(2017西宁)如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为(　　)A.5B.4C.D.第7题图8.如图，在矩形ABCD中，连接BD，延长BC至点E，使CE＝BD，若∠ADB＝30°，则∠E的度数是(　　) A.45°B.30°C.20°D.15°第8题图9.(2017南充)已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(　　)A.2B.C.3D.410.(2017绵阳)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点，若AC＝2，∠AEO＝120°，则FC的长度为(　　)A.1B.2C.D.　第10题图11.如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也是正方形，则△DBF的面积为(　　)A.4B.C.2D.2第11题图12.(2017孝感)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为________．13.(2017钦州模拟)如图，在正方形ABCD中，连接AC，点E在AB边上，过点E作EF⊥AC交AC于点F，连接EC，若AF＝3，△ EFC的周长为12，则EC＝________．第13题图14.如图，在矩形ABCD中，AD＝，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F＝20°，则AB＝________．　　第14题图第15题图15.(2017徐州)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝________．16.(2017兰州)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件，下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD，其中正确的序号是：________________(写出所有正确的序号)．17.(2017广东省卷)如图所示，已知四边形ABCD、ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角．(1)求证：AD⊥BF；(2)若BF＝BC，求∠ADC的度数． 第17题图18.()如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC反向延长线上的一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CM的反向延长线于点F.求证：AE＝EF.第18题图19.(2017贵阳)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边BC、AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.(1)证明：AF＝CE； (2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．第19题图20.()如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF.求证：(1)OD＝FC；(2)四边形ODFC是菱形．第20题图21.如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠E＝60°，AC＝4，求菱形ABCD的面积． 第21题图22.(2017杭州)如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．第22题图　能力提升拓展1.(2017安徽)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD.则点P到A，B两点距离之和PA＋PB 的最小值为(　　)A.B.C．5D.第1题图2.(2017河南)我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O.固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为(　　)A.(，1)B.(2，1)C.(1，)D.(2，)第2题图3.(2017贵港模拟)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E在BC边上，且CE＝2，AE与BD交于点F，连接CF，则下列结论不正确的是(　　)A.△ABF≌△CBFB.△ADF∽△EBFC.tan∠EAB＝D.S△EAB＝6第3题图 4.(2017黔东南州)如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为(　　)A.60°B.67.5°C.75°D.54°　第4题图5.(2016绵阳)如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若＝2，则的值为(　　)A.B.C.D.第5题图6.(2017张家界)如图，在正方形ABCD中，AD＝2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为________．第6题图7.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点(不与B、 D重合)，连接AP，过点B作BH⊥AP，垂足为H，连接DH.若正方形的边长为4，则线段DH的最小值是________．第7题图8.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，过点E作EF⊥AD于点F，连接BF交AE于点P，连接PD.(1)求证：四边形ABEF是正方形；(2)若AB＝4，AD＝7，求tan∠ADP的值．第8题图9.(2017福建)如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC，BC上的点，且四边形PEFD为矩形．(1)若△PCD是等腰三角形，求AP的长；(2)若AP＝，求CF的长．第9题图 10.(2017海南)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G.(1)求证：△CDE≌△CBF；(2)当DE＝时，求CG的长；(3)连接AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．第10题图答案基础达标训练1.D　【解析】由题意知，四边形DBFE是平行四边形，要想成为菱形，只要有一组邻边相等即可，由BE平分∠ABC，可知∠ABE＝∠CBE，再由DE∥BC，可得∠DEB＝∠CBE，所以∠ABE＝∠DEB，即BD＝DE，故选D.2.D　【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∵AC＝6，BD＝8，∴AO＝3，BO＝4，在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝5，∴菱形周长为4AB＝20 cm.3.B　【解析】设CH＝x，则DH＝EH＝9－x，∵BE∶EC＝2∶1，BC＝9，∴CE＝BC＝3，∵在Rt△ECH中，根据勾股定理得EH2＝EC2＋CH2，即(9－x)2＝32＋x2，解得x＝4，即CH＝4.4.D　【解析】对角线相等且互相垂直的四边形不一定是菱形，故A不正确；对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确；对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定互相平分，故不一定是平行四边形，故C不正确；对角线互相平分的四边形为平行四边形，又∵对角线相等，则其为矩形，∴D正确，故选D.5.B　【解析】如解图，连接BE，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠D＝90°，∵E是边CD的中点，∴DE＝CD＝1，在Rt△ADE中，根据勾股定理得AE＝＝，∵S△ABE＝AB·CD＝AE·BF，∴BF＝＝.第5题解图6.D　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵EB平分∠AEC，∴∠AEB＝∠CEB，∴∠CBE＝∠CEB，∴EC＝BC＝5，在Rt△CDE中，根据勾股定理得，DE＝＝4，∴AE＝AD－ DE＝1，∴S△ABE＝AE·AB＝×1×3＝1.5.7.D　【解析】∵O为AC的中点，OM∥AB，∴OM为△ACD的中位线，∴AB＝CD＝2OM＝6，∴AC＝＝2，∴OB＝AC＝.8.D　【解析】如解图，连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ACB＝∠ADB＝30°，AC＝BD，∵BD＝CE，∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE，∴∠E＝15°.第8题解图9.D　【解析】由题意得，菱形的边长为＝，设两条对角线的长分别为m、n，则m＋n＝6，∵菱形两条对角线互相垂直平分，∴两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，每个直角三角形两条直角边的和为m＋n＝3，两边平方得(m)2＋(n)2＋2·m·n＝9，而(m)2＋(n)2＝()2，5＋mn＝9，∴mn＝4，即菱形的面积为4.10.A　【解析】∵∠AEO＝120°，∴∠DEO＝60°，∵OE⊥BD，∴∠ADO＝30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OD＝OC＝OB，∴∠EAO＝∠ADO＝30°，∴∠AOE＝30°＝∠EAO，∴AE＝EO，∵AC＝2，∴OD＝，在Rt△DOE中，OE＝OD· tan∠EDO＝·tan30°＝1，∴AE＝1，∵矩形ABCD关于对角线的交点O中心对称，∴FC＝AE＝1.11.D　【解析】如解图，连接CF，∵四边形ABCD与四边形CEFH都是正方形，∴∠DBC＝∠FCE＝45°，∴BD∥CF，∴S△BDF＝S△BDC＝S正方形ABCD＝×22＝2.第11题解图12.　【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，∴OC＝12，OD＝5，AC⊥BD，∴AB＝CD＝13.在△ABD中，有AO·BD＝DH·AB，即12×10＝13DH，∴DH＝，在Rt△BDH中，由勾股定理得BH＝＝＝.13.5　【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAF＝45°，又∵EF⊥AC，∴∠AFE＝90°，∠AEF＝45°，∴EF＝AF＝3，∵△EFC的周长为12，∴FC＝12－3－EC＝9－EC，在Rt△EFC中，EC2＝EF2＋FC2＝9＋(9－EC)2，解得EC＝5.14.　【解析】由三角形的外角和性质得，∠AGC＝∠GAF＋∠F＝20°＋20°＝40°，∵∠ACG＝∠AGC，∴∠CAG＝180°－∠ACG－∠AGC＝180°－2×40°＝100°，∴∠CAF＝∠CAG＋∠GAF＝100°＋20°＝120°，∴∠BAC＝∠CAF－∠BAF＝120°－90°＝30°，∴在Rt△ABC中，AC＝2BC＝2AD＝2，由勾股定理得AB＝ ＝＝.15.　【解析】∵AC＝＝5，AQ＝AD＝3，∴CQ＝2，∠ADQ＝∠AQD，∵∠CQP＝∠AQD，∴∠ADQ＝∠CQP，∵AD∥BC，∴∠ADQ＝∠CPQ，∴∠CQP＝∠CPQ，∴CP＝CQ＝2，∴BP＝3－2＝1，∴AP＝＝＝.16.①③④　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AD，∴平行四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形，故①正确；∵AB⊥BD，∴∠ABD＝90°，∵正方形对角线将一组内角平分为两个45°的角，∴四边形ABCD不是正方形，故②不正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，又∵OB＝OC，∴AO＝CO＝BO＝DO，∴四边形ABCD是矩形，又∵OB⊥OC，即对角线互相垂直，∴矩形ABCD是正方形，故③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，若AB＝AD，则AB＝CD＝AD＝BC，∴四边形ABCD为菱形，又∵AC＝BD，∴菱形ABCD是正方形，故④正确．综上所述，其中正确的序号是①③④.17.(1)证明：∵四边形ABCD、四边形ADEF都是菱形，∴AB＝AD＝AF，∴△ABF是等腰三角形，又∵∠BAD＝∠FAD，∴AD⊥BF；(2)解：由(1)知AB＝AD＝AF，又∵AB＝BC，BF＝BC，∴AB＝AF＝BF，∴△ABF是等边三角形，∴∠BAF＝60°， 又∵∠BAD＝∠FAD，∴∠BAD＝30°，又∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＋∠BAD＝180°，∴∠ADC＝180°－∠BAD＝150°.18.证明：如解图，延长AB，使BG＝BE，连接EG.第18题解图∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC，∴∠AGE＝45°，AB＋BG＝BC＋BE，即AG＝CE，∵CM为正方形外角的平分线，∴∠ECF＝45°，∵∠ABE＝90°，∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠EAG＝90°，∠AEB＋∠FEC＝90°，∴∠EAG＝∠FEC，在△EAG和△FEC中，，∴△EAG≌△FEC(ASA)，∴AE＝EF.19.(1)证明：∵在△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点，∴DE是△ABC的中位线， ∴AC＝2DE，DE∥AC，∵EF＝2DE，∴AC＝EF，又∵DE∥AC，即DF∥AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF＝CE；一题多解：∵在△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AC＝2DE，DE∥AC，∴DF∥AC，∴∠AEF＝∠EAC，在△AEF和△EAC中，，∴△AEF≌△EAC(SAS)，∴AF＝CE；(2)解：当∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形．理由：∵点E是Rt△ABC斜边AB的中点，∴AE＝CE＝BE，∵∠B＝30°，∴∠BCE＝30°，∴∠ACE＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴AC＝CE，由(1)知四边形ACEF是平行四边形， ∴四边形ACEF是菱形．20.证明：(1)∵CF∥BD，∴∠DOE＝∠CFE，∵E是CD的中点，∴DE＝CE，在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE(AAS)；∴OD＝FC；(2)由(1)知OD＝FC，且CF∥BD，∴四边形ODFC是平行四边形，∵在矩形ABCD中，OC＝OD，∴四边形ODFC是菱形．21.(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形；(2)解：∵四边形BECD是平行四边形，∴DB∥CE，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥CE.在Rt△ACE中， ∵∠E＝60°，AC＝4，∴CE＝＝＝4，∵四边形BECD是平行四边形，∴BD＝CE＝4，∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×4×4＝8.22.解：(1)AG2＝GE2＋GF2；理由：如解图，连接CG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD，DG＝DG，∴△ADG≌△CDG，∴AG＝CG，又∵GE⊥DC，GF⊥BC，∠BCD＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∴CF＝GE，在Rt△GFC中，由勾股定理得，CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GE2＋GF2；第22题解图(2)如解图，过点A作AM⊥BD于点M，∵GF⊥BC，∠ABG＝∠GBC＝45°，∴∠BAM＝∠BGF＝45°， ∴△ABM，△BGF都是等腰直角三角形，∵AB＝1，∴AM＝BM＝，∵∠AGF＝105°，∴∠AGM＝60°，∴tan60°＝，∴GM＝，∴BG＝BM＋GM＝＋＝.能力提升拓展1.D　【解析】如解图，设△PAB的边AB上的高为h，∵S△PAB＝S矩形ABCD，∴AB·h＝AB·AD，∴h＝2为定值，在AD上截取AE＝2，作EF∥AB，交CB于F，故P点在直线EF上，作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B，交直线EF于点P，此时PA＋PB最小，且PA＋PB＝A′B，A′B＝＝＝.第1题解图2.D　【解析】在Rt△AOD′中，AD′＝2，OA＝1，∴∠AD′O＝30°，∠D′AO＝60°，由平行四边形的性质得∠C′＝∠D′AO＝ 60°，∴点B到C′D′的距离为BC′·sin60°＝2×＝，∴点C′的坐标是(2，)．3.C　【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABF＝∠CBF，AB＝BC，在△ABF和△CBF中，，∴△ABF≌△CBF，故A选项不符合题意；∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，故B选项不符合题意；如解图①，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴∠CAB＝∠DAB＝30°，∴tan∠CAB＝tan30°＝，∵∠EABOD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，∴DH最小＝OD－OH＝2－2.第7题解图8.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠FAB＝∠ABE＝90°，AF∥BE，∵EF⊥AD，∴四边形ABEF是矩形，∵AE平分∠BAD，AF∥BE，∴∠FAE＝∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴四边形ABEF是正方形；(2)解：如解图，过点P作PH⊥AD于H，第8题解图由(1)得四边形ABEF是正方形，∴BP＝PF，BA⊥AD，∠PAF＝45°，∴AB∥PH，∵AB＝4，∴AH＝PH＝2，∵AD＝7，∴DH＝AD－AH＝7－2＝5，在Rt△PHD中，∠PHD＝90°，∴tan∠ADP＝＝.9.解：(1)在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°，∴DC＝AB＝6，∴AC＝＝10.要使△PCD是等腰三角形，有如下三种情况： ①当CP＝CD时，CP＝6，∴AP＝AC－CP＝4；②当PD＝PC时，∠PDC＝∠PCD，∵∠PCD＋∠PAD＝∠PDC＋∠PDA＝90°，∴∠PAD＝∠PDA，∴PD＝PA，∴PA＝PC，∴AP＝＝5；③当DP＝DC时，如解图①，过点D作DQ⊥AC于点Q，则PQ＝CQ.第9题解图①∵S△ADC＝AD·DC＝AC·DQ，∴DQ＝＝，∴CQ＝＝，∴PC＝2CQ＝，∴AP＝AC－PC＝. 综上所述，若△PCD是等腰三角形，AP＝4或5或；(2)如解图②，连接PF、DE，交点为O，连接OC.第9题解图②∵四边形ABCD和PEFD都是矩形，∴∠ADC＝∠PDF＝90°，即∠ADP＋∠PDC＝∠PDC＋∠CDF，∴∠ADP＝∠CDF.∵∠BCD＝90°，OE＝OD，∴OC＝ED.在矩形PEFD中，PF＝DE，∴OC＝PF，∵OP＝OF＝PF，∴OC＝OP＝OF，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC，又∵∠OPC＋∠OFC＋∠PCF＝180°，∴2∠OCP＋2∠OCF＝180°，∴∠PCF＝90°， 即∠PCD＋∠FCD＝90°.在Rt△ADC中，∠PCD＋∠PAD＝90°，∴∠PAD＝∠FCD，∴△CDF∽△ADP，∴＝＝，∵AP＝，∴CF＝.10.(1)证明：∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，∴∠ECG＋∠BCF＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴DC＝CB，∠DCB＝90°，∴∠DCE＋∠ECG＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，在△CDE与△CBF中，，∴△CDE≌△CBF(ASA)；(2)解：∵DE＝，∴AE＝1－＝，由(1)知△CDE≌△CBF， ∴DE＝BF，∴BF＝，∵BG∥AE，∴△FGB∽△FEA，∴＝，∴GB＝＝＝，∴CG＝1－＝；(3)解：不能；理由如下：如解图，若四边形CEAG为平行四边形，则EA＝CG，可得DE＝BG，由(2)知△FGB∽△FEA，则＝，即＝，解得DE＝0，即D，E重合，与已知点E不与点A和点D重合矛盾，∴四边形CEAG不能为平行四边形． 第10题解图