2022年中考数学二轮复习专题《解直角三角形的实际应用》练习册 (含答案)

第5课时　解直角三角形的实际应用类型一　母子型1.(2017邵阳)如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°.n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是___________km.第1题图2.(2017新疆建设兵团)如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°.求这两座建筑物的高度(结果保留根号)．　第2题图3.(2017潍坊)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD 的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14米．求居民楼的高度(精确到0.1米．参考数据：≈1.73)．第3题图4.如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的信号塔PQ的高度，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为31°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是68°，求信号塔PQ的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)第4题图5.(2017黄冈)在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD(如图所示)．已知标语牌的高AB＝5m，在地面的点E 处，测得标语牌点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．(计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)第5题图6.(2017株洲)如图，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tanα＝2，无人机的飞行高度AH为500米，桥的长度为1255米．(1)求点H到桥左端点P的距离；(2)若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度．第6题图类型二　背靠背型7.(2016长沙)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120m，这栋楼的高度为(　　) A.160m　　　B.120mC.300m　　　　　D.160m第7题图8.如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°.求坝底AD的长度．(结果精确到1米，参考数据：≈1.73)第8题图9.(2017南京)如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 第9题图10.(2016达州)如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km.一轮船以36km/h的速度航行，上午10∶00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10∶40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km.(1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线l?(2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．(参考数据：≈1.4，≈1.7)第10题图类型三　其他类型11.(2017山西)如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为________米( 结果保留一位小数．参考数据：sin54°＝0.8090，cos54°＝0.5878，tan54°＝1.3764)．　第11题图12.(2017常德)图①，②分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC＝0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD＝1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮框D到地面的距离(精确到0.01米)．(参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414)第12题图13.(2017黔东南州)如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数) (参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24)第13题图答案1.20－20　【解析】由题意知，∠ARL＝30°，∠BRL＝45°，AR＝40，∴在Rt△ALR中，AL＝AR·sin30°＝40×＝20km，由勾股定理得RL＝＝20km，在Rt△BLR中，∵∠BRL＝45°，∴BL＝RL＝20km，∴AB＝BL－AL＝(20－20)km ，即火箭上升的高度是(20－20)km.2.解：如解图，延长AE交DC于点F，则AF⊥DC，第2题解图∵在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝BC＝30m，∴DF＝AF＝30m，∵在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，∴DC＝BC·tan60°＝30m，∴AB＝FC＝DC－DF＝(30－30)m.答：甲建筑物的高度为(30－30)m，乙建筑物的高度为30m.3.解：由题意知A′B′＝AB＝14米，∠DA′C′＝60°，∠EB′C′＝30°，∵MC＝2.5米，CC′＝1.5米，∴MC′＝1米，设每层楼的高度为x米，则DC′＝(5x＋1)米，EC′＝(4x＋1)米，在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，∴A′C′＝＝＝米，在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°， ∴B′C′＝＝＝(4x＋)米，∵B′C′＝A′C′＋A′B′，即4x＋＝＋14，解得x＝2－，∴CD＝5x＋2.5＝5(2－)＋2.5≈18.4(米)．答：居民楼的高度约为18.4米．4.解：如解图，延长PQ交直线AB于点M，第4题解图则∠PMA＝90°，设PM的长为x，∵在Rt△PAM中，∠PAM＝45°，∴AM＝PM＝x，又∵AB＝100米，∴BM＝(x－100)米，在Rt△PBM中，∵tan∠PBM＝， ∴tan68°＝≈2.48，解得x≈167.57，即AM＝PM≈167.57(米)，在Rt△QAM中，QM＝AM·tan∠QAM＝167.57×tan31°≈167.57×0.60≈100.54(米)，∴PQ＝PM－QM＝167.57－100.54≈67.0(米)．答：信号塔PQ的高度约为67.0米．5.解：如解图，过点F作FM⊥AE于点M.∵∠AFB＝75°，∠E＝30°，∴∠EAF＝45°，∴AM＝MF，在Rt△ABE中，AB＝5m，∠E＝30°，∴AE＝2AB＝10m，设AM＝MF＝x，则EF＝2x，EM＝x，又∵AE＝AM＋EM，∴10＝x＋x，解得x＝5(－1)，∴EF＝2x＝10(－1)≈10(1.73－1)＝7.3m.答：点E与点F之间的距离约为7.3m.第5题解图6.解：(1)∵tan∠APH＝tanα＝2， ∴＝2，又∵AH＝500，∴HP＝250，答：点H到桥左端点P的距离为250米；(2)如解图，设HA、QB的延长线交于点M，第6题解图∵HQ＝HP＋PQ＝250＋1255＝1505，∠BQH＝30°，∴MH＝HQ·tan30°＝1505×＝(米)，∴MA＝MH－AH＝(米)，又∵在Rt△ABM中，∠MBA＝30°，∴AB＝＝MA＝5(米)．答：这架无人机的长度为5米．7.A　【解析】如解图，设过点A垂直于BC的直线与BC的交点为D，∵AD＝120m，∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，则BD＝AD·tan∠BAD＝120·tan30°＝40m，CD＝AD·tan∠CAD＝120·tan60°＝120m，∴BC＝BD＋CD＝160m. 第7题解图8.解：如解图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，则四边形BEFC是矩形，∴EF＝BC＝10米，∵BE＝20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，∴AE＝2.5BE＝50米，∵CF＝20米，斜坡CD的坡角为30°，∴DF＝＝20≈35米，∴AD＝AE＋EF＋DF＝50＋10＋35＝95米．答：坝底AD的长度约为95米．第8题解图9.解：如解图，过点C作CH⊥AD，垂足为H，设AH＝xkm.第9题解图∵在Rt△ACH中，∠A＝37°，∴CH＝AH·tan37°＝x·tan37°， ∵在Rt△CEH中，∠CEH＝45°，∴EH＝CH＝x·tan37°，∵CH⊥AD，BD⊥AD，∴CH∥BD，∴＝，又∵C为AB的中点，∴AC＝CB，∴AH＝HD，即x＝x·tan37°＋5，∴x＝≈＝20，∴HE＝CH＝20·tan37°≈20×0.75＝15(km)∴AE＝AH＋HE＝20＋15≈35(km)．答：E处距离港口A大约35km.10.解：(1)如解图，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，延长AB与直线l相交于点F，第10题解图则∠BCE＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，∴∠ACB＝90°，∵AB＝36×＝24km，BC＝12km， ∴sin∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝30°，则∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∵∠EBF＝∠EBC，∴BF＝BC＝12km，则t＝＝(小时)＝20(分钟)．答：轮船照此速度与航向航行，上午11∶00能到达海岸线l；(2)由(1)可知，BC＝BF，BE⊥CF，∵ME＝EC＝BC·sin60°＝12×＝6km，∴CF＝CE＋EF＝12≈20.4km，又∵CN＝20km，MN＝1.5km，∴CM＝CN＋MN＝20＋1.5＝21.5km，∵20km