2022年中考数学二轮复习专题《圆的性质及其证明与计算》练习册 (含答案)

第六单元　圆第1课时　圆的性质及其证明与计算基础达标训练1.(2017钦州模拟)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的大小是(　　)A.20°B.35°C.130°D.140°第1题图2.(2017四市联考模拟)如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点M，M是AB的中点，点P在上，PC与AB交于点N，∠PNA＝60°，则∠PDC等于(　　)A.40°B.50°C.60°D.70°第2题图第3题图3.(2017福建)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是(　　)A.∠ADCB.∠ABDC.∠BACD.∠BAD 4.如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的两个点，＝，∠CAB＝24°，则∠ABD的度数为(　　)A.24°B.60°C.66°D.76°第4题图5.如图，点O为坐标原点，点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(0，4)，⊙D过A、B、O三点，点C为上的一点(不与A，O两点重合)，连接OC，AC，则cosC的值为(　　)A.B.C.D.第5题图6.(2017广东省卷)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为(　　)A.130°B.100°C.65°D.50°第6题图 7.(2017陕西)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5.若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为(　　)A.5B.C.5D.5第7题图8.(2017潍坊)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为(　　)A.50°B.60°C.80°D.85°第8题图9.(2017遂宁)如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则线段BC的长为(　　)A.3B.3C.6D.6 第9题图10.如图，AB为⊙O的直径，弦DC垂直AB于点E，∠DCB＝30°，EB＝3，则弦AC的长为(　　)A.3B.4C.5D.6第10题图11.(2017桂林模拟)如图是一个高速公路隧道的横截面，它的上部是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，弓高CD＝8米，则此圆的半径OA为________米．第11题图12.(2017北京)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝.若∠CAB＝40°，则∠CAD＝_______°.第12题图第13题图13.(2017南京)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE，若∠D＝78°，则∠EAC＝ ________°.14.(2017凉山州)如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C＝2∠A，则BD＝________．第14题图15.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB.(1)若BE＝8，求⊙O的半径；(2)若∠M＝∠D，求线段OE的长．第15题图16.(2017台州)如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值． 第16题图能力提升拓展1.(2017德阳)如图，点D、E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB、AC边上的中点，若⊙O的半径为2，则DE的长等于(　　)A.B.C.1D.第1题图2.(2016丽水)如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝，则AE的长是(　　)A.3B.2C.1D.1.2第2题图3.(2017广安)如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB＝，BD＝5，则OH的长度为(　　) A.B.C.1D.第3题图4.(2017东营)如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC∥OD，AD与OC交于点E，连接CD，BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD＝CD；③CD2＝CE·CO.其中正确结论的序号是________第4题图 答案基础达标训练1.D　2.C　【解析】∵CD是⊙O的直径，∴∠CPD＝90°，∵M是AB的中点，∴CD⊥AB，∵∠MNC＝∠PNA＝60°，∴∠PCD＝30°，∴∠PDC＝60°.3.D　【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，根据同弧所对的圆周角相等，得∠ACD＝∠ABD，∴∠ACD＋∠BAD＝90°，即∠BAD与∠ACD互余，故选D.4.C　【解析】如解图，连接AD，∵＝，∴∠DAB＝∠CAB＝24°，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°－24°＝66°.第4题解图5.D　【解析】如解图，连接AB，∵点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(0，4)，∴AO＝3，BO＝4，∴AB＝5，∵∠C＝∠OBA，∴cosC＝cos∠OBA＝＝.第5题解图6.C　【解析】∵∠ABC＋∠CBE＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°， ∴∠CBE＝∠ADC，又∵∠CBE＝50°，∴∠ADC＝50°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝(180°－∠ADC)＝65°.7.D　【解析】∵∠C＝30°，∴∠APB＝30°，∵PB＝AB，∴∠PAB＝∠APB＝30°，如解图，连接OA、OB、OP，OB交AP于点H，可得OA＝OB＝OP＝5，∴∠AOB＝2∠APB＝60°，∠BOP＝2∠BAP＝60°，∴△OAB和△OBP是等边三角形，∴OA＝AB＝BP＝OP＝5，∴四边形OABP是菱形，∴∠OHA＝∠OHP＝90°，OH＝OB＝，∴AH＝＝，∴AP＝2AH＝5.第7题解图8.C　【解析】∵∠GBC＝50°，∴∠ABC＝130°，由圆内接四边形对角互补得，∠ADC＝50°，如解图，连接AC，根据垂径定理知，＝，∴∠ACD＝∠ADC＝50°，∴∠DAC＝80°，∴∠DBC＝∠DAC＝80°.第8题解图 9.C　【解析】∵∠BOC＝2∠BAC，∠BOC＋∠BAC＝180°，∴∠BOC＝120°，∴∠OBC＝30°.如解图，作OH⊥BC于点H，则BH＝CH，∵OB＝6，∠OBC＝30°，∴BH＝OB·cos∠OBC＝3，∴BC＝2BH＝6.第9题解图10.D　【解析】∵弦DC垂直AB于点E，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝60°，在Rt△BCE中，BC＝2EB＝6，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，AC＝BC·tan60°＝6×＝6.11.5　【解析】设半径OA为r米，则OD＝(8－r)米，易知AD＝AB＝4米，在Rt△OAD中，r2＝42＋(8－r)2，解得r＝5，∴此圆的半径OA为5米．12.25　【解析】如解图，连接DO，CO，∵∠CAB＝40°，AO＝CO，∴∠AOC＝100°，∵＝，∴∠COD＝∠AOD＝50°，∴∠CAD＝∠COD＝25°.第12题解图13.27　【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠D＝78°，∴∠ACB＝ ∠DCB＝(180°－∠D)＝51°，∵四边形AECD内接于⊙O，∴∠AEB＝∠D＝78°，∴∠EAC＝∠AEB－∠ACE＝78°－51°＝27°.14.4　【解析】如解图，连接OD、OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F，∴DF＝BF，∠DOF＝∠BOF，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠C＝180°，∵∠C＝2∠A，∴∠A＝60°，∴∠BOD＝120°，∴∠BOF＝60°，∵OB＝4，∴BF＝OB·sin∠BOF＝4×sin60°＝2，∴BD＝2BF＝4.第14题解图15.解：(1)设⊙O的半径为r，则OD＝r，OE＝r－8，∵CD⊥AB，CD＝24，∴DE＝CD＝12，在Rt△ODE中，OD2＝OE2＋DE2，即r2＝(r－8)2＋122，解得r＝13，即⊙O的半径为13；(2)∵∠DOE＝2∠M，∠M＝∠D，∴∠DOE＝2∠D，∴∠D＝30°， ∴在Rt△OED中，OE＝DE·tan30°＝12×＝4.16.(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB，∠PBA＝45°，∴∠PEA＝∠PBA＝45°，∵PE为⊙O的直径，∴∠PAE＝90°，∴△APE是等腰直角三角形；(2)解：∵∠PAE＝∠CAB＝90°，∴∠CAB－∠PAB＝∠PAE－∠PAB，∴∠CAP＝∠BAE，∵△ABC是等腰直角三角形，又由(1)得△APE是等腰直角三角形，∴PA＝AE，AC＝AB，∴△CAP≌△BAE(SAS)，∴CP＝BE，∵PE为⊙O的直径，∴∠PBE＝90°，在Rt△PBE中，BE2＋PB2＝PE2＝4，∴PC2＋PB2＝4.能力提升拓展1.A　【解析】如解图，连接OB、OC，过点O作BC的垂线，交BC于点H，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，由垂径定理知，OH垂直平分BC，在Rt△BOH中，∠BOH＝60°，OB＝2，则BH＝，∴BC ＝2，∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝.第1题解图2.C　【解析】∵⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，∴AB是⊙O的直径，∴∠D＝∠C＝90°，∵∠DAE＝∠CBE，∴△ADE∽△BCE，∴＝，∵BC＝4，AD＝，∴＝＝.设AE＝x，则CE＝4－x，BE＝5x，在Rt△BCE中，由勾股定理得CE2＋BC2＝BE2，即(4－x)2＋42＝(5x)2，解得x1＝1，x2＝－(舍去)，∴AE＝1.3.D　【解析】如解图，连接OD，∵AB是⊙O的直径，点H是CD的中点，∴AB⊥CD，在Rt△BDH中，∵cos∠CDB＝，BD＝5，∴DH＝4，∴BH＝＝3，设OH＝x，则OD＝OB＝x＋3，在Rt△ODH中，OD2＝OH2＋DH2，∴(x＋3)2＝x2＋42，解得x＝，即OH＝.第3题解图4.①②③　【解析】∵OC⊥AB，OC＝OA，∴∠OAC＝45°，∵OD∥AC，∴∠BOD＝∠BAC＝45°，∴∠BOD＝∠COD＝45°，∴OD 平分∠BOC，故①正确；∵∠BOD＝∠COD，∴＝，∴BD＝CD，故②正确；如解图，连接BC，易得∠CBA＝45°，由同弧所对圆周角相等，得∠ADC＝∠CBA＝45°，∴∠EDC＝∠DOC，∵∠ECD＝∠DCO，∴△ECD∽△DCO，∴＝，即CD2＝CE·CO，故③正确，综上所述，正确的结论为①②③.第4题解图