专题集训9 几何问题探究一、选择题1.如图,线段AB是⊙O的直径,点C在圆上,∠AOC=80°,点P是线段AB延长线上的一动点,连结PC,则∠APC的度数不可能的是(A)A.40° B.30° C.20° D.15°【解析】∠APC=∠CBO-∠BCP,而∠CBO=40°,故∠APC<40°.,第1题图) ,第2题图)2.如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC于点F,连结DF,则下列结论中错误的是(D)A.△AEF∽△CABB.CF=2AFC.DF=DCD.tan∠CAD=【解析】AE=ED=AD,△FEA∽△FBC,由相似成比例知==,∴CF=2AF,B正确.又AC⊥BE,∴△AEF~△CAB,A正确.连结EC,∵E为AD中点,∴EB=EC,△EBC为等腰三角形,∴∠ECD=∠EBA,∠ECB=∠EBC=∠AEF=∠ACD,又△CFB∽△CBA∽△BFA,∴===,而BE=EC,AB=DC,∴=,∴△FDC∽△BEC,∴DF=DC,C正确.二、填空题3.如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB于点C,连结OA,OB.点P是半径OB上任意一点,连结AP.若OA=5cm,OC=3cm,则AP的长度可能是__6__cm.(写出一个符合条件的数值即可),第3题图) ,第4题图)4.如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.有直角∠MPN,使直角顶点P与点O重合,直角边PM,PN分别与OA,OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM,PN分别交AB,BC于E、F两点,连结EF交OB于点G,则下列结论中正确的是__(1),(2),(3)__.(1)EF=OE;(2)S四边形OEBF∶S正方形ABCD=1∶4;(3)BE+BF=OA
;(4)在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,AE=.【解析】(1)由四边形ABCD是正方形,直角∠MPN,易证得△BOE≌△COF(ASA),则可证得结论;(2)由(1)易证得S四边形OEBF=S△BOC=S正方形ABCD,则可证得结论;(3)由BE=CF,可得BE+BF=BC,然后由等腰直角三角形的性质,证得BE+BF=OA;(4)首先设AE=x,则BE=CF=1-x,BF=x,继而表示出△BEF与△COF的面积之和,然后利用二次函数的最值问题,求得答案;故答案为:(1),(2),(3).三、解答题5.如图,在四边形ABCD中,点H是BC的中点,作射线AH,在线段AH及其延长线上分别取点E,F,连结BE,CF.(1)请你添加一个条件,使得△BEH≌△CFH,你添加的条件是__EH=FH__,并证明.(2)在问题(1)中,当BH与EH满足什么关系时,四边形BFCE是矩形,请说明理由.解:(1)添加:EH=FH,证明:∵点H是BC的中点,∴BH=CH,在△BEH和△CFH中,∴△BEH≌△CFH(SAS)(2)∵BH=CH,EH=FH,∴四边形BFCE是平行四边形,∵当BH=EH时,则BC=EF,∴平行四边形BFCE为矩形6.在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,P是线段BC上一动点(与点B,C不重合),连结AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M.
(1)若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示);(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明.解:(1)∠AMQ=45°+α.理由如下:∵∠PAC=α,△ACB是等腰直角三角形,∴∠BAC=∠B=45°,∠PAB=45°-α,又∵QH⊥AP,∠AHM=90°,∴∠AMQ=180°-∠AHM-∠PAB=45°+α(2)线段MB与PQ之间的数量关系:PQ=MB.理由如下:连结AQ,过点M做ME⊥QB,∵AC⊥QP,CQ=CP,∴∠QAC=∠PAC=α,∴∠QAM=α+45°=∠AMQ,∴AP=AQ=QM,在Rt△APC和Rt△QME中,∴Rt△APC≌Rt△QME(AAS),∴PC=ME,∴△MEB是等腰直角三角形,∴PQ=MB,∴PQ=MB