专题集训12 相似三角形探究一、选择题1.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值(B)A.只有1个 B.可以有2个C.有2个以上但有限D.有无数【解析】由题意:直角三角形两条边边长为6和8,则边长为6的只可能为直角边,当边长为8的是直角时,斜边为10,如图①.当8为斜边时,另一条边长为2,如图②.边长为3,4及x的直角三角形与之相似,也只可能出现两种情况.二、填空题2.如图,正方形的边长为10,点E在CB的延长线上,EB=10,点P在边CD上运动(C,D两点除外),EP与AB相交于点F,若CP=x,四边形FBCP的面积为y,则y关于x的函数关系式是__y=x(0<x<10)__.【解析】由题条件易知△EBF∽△ECP,且FB=CP.∴=()2=()2=,∴=,而S△EBF=×x×10=x,∴SBCPE=3S△EBF=x,即y=x(0<x<10).三、解答题3.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-3,0),B(1,0),C(-2,1),交y轴于点M.(1)求抛物线的表达式;(2)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P,A,N为顶点的三角形与△MAO相似?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)抛物线的表达式为y=x2-x+1(2)存在点P,使得以点P,A,N为顶点的三角形与△MAO相似.在Rt△MAO中,AO=3MO,要使两个三角形相似,由题意可知,点P不可能在第一象限.①设点P在第二象限时,∵点P不可能在直线MN上,∴只能PN=3AN,∴-m2-m+1=3(m+3),即m2+11m+24=0.解得m=-3(舍去)或m=-8.又-3