专题集训5 折叠问题一、选择题1.如果将长为6cm,宽为5cm的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是(A)A.8cm B.5cm C.5.5cm D.1cm【解析】纸片为长方形,折痕的最大长度为对角线长,=<=8,所以折痕长不能为8cm.2.将抛物线y=-x2+2x+3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方,图象的剩余部分不变,得到一个新的函数图象,那么直线y=x+b与此新图象的交点个数的情况有(B)A.6种B.5种C.4种D.3种二、填空题3.如图,矩形纸片ABCD中,AB=5,BC=3,先按图2操作:将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在边AB上的点E处,折痕为AF;再按图3操作,沿过点F的直线折叠,使点C落在EF上的点H处,折痕为FG,则A,H两点间的距离为____.【解析】如图3中,连结AH,由题意可知在Rt△AEH中,AE=AD=3,EH=EF-HF=3-2=1,∴AH===.4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别在AC,BC上,且∠CDE=∠B,将△CDE沿DE折叠,点C恰好落在AB边上的点F处.若AC=8,AB=10,则CD的长为____.【解析】由折叠可得,∠DCE=∠DFE=90°,∴D,C,E,F四点共圆,∴∠CDE=∠CFE=∠B,又∵CE=FE,∴∠CFE=∠FCE,∴∠B=∠FCE,∴CF=BF,同理可得,CF=AF,∴AF=BF,即F是AB的中点,∴Rt△ABC中,CF=AB=5,由D,C,E,F四点共圆,可得∠DFC=∠DEC,由∠CDE=∠B,可得∠DEC=∠A,∴∠DFC=∠A,又∵∠DCF=∠FCA,∴△CDF∽△CFA,∴CF2=CD×CA,即52=CD×8,∴CD=.三、解答题5.如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,BC=7.如图2,在底边BC上取一点D,
连结AD,使得∠DAC=∠ACD.如图3,将△ACD沿着AD所在直线折叠,使得点C落在点E处,连结BE,得到四边形ABED.求BE的长.解:设AE与BD交于点M,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵∠DAC=∠ACD,∴∠DAC=∠ABC,∵∠C=∠C,∴△CAD∽△CBA,∴=,∴=,∴CD=,BD=BC-CD=,∵∠DAM=∠DAC=∠DBA,∠ADM=∠ADB,∴△ADM∽△BDA,∴=,即=,∴DM=,MB=BD-DM=,∵∠ABM=∠C=∠MED,∴A、B、E、D四点共圆,∴∠ADB=∠BEM,∠EBM=∠EAD=∠ABD,∴△ABD∽△MBE,∴=,∴BE===6.如图1,将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠,顶点C落到点E处,BE交AD于点F.(1)求证:△BDF是等腰三角形;(2)如图2,过点D作DG∥BE,交BC于点G,连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状,并说明理由;②若AB=6,AD=8,求FG的长.解:(1)如图1,根据折叠,∠DBC=∠DBE,又AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB,∴∠DBE=∠ADB,∴DF=BF,∴△BDF是等腰三角形(2)①菱形,理由:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴FD∥BG,又∵FD∥BG,∴四边形BFDG是平行四边形,∵DF=BF,∴四边形BFDG是菱形②∵AB=6,AD=8,∴BD=10.∴OB=BD=5.设DF=BF=x,∴AF=AD-DF=8-x.∴
在Rt△ABF中,AB2+AF2=BF2,即62+(8-x)2=x2,解得x=,即BF=,∴FO===,∴FG=2FO=