2022年中考数学二轮专题(2)开放探究问题（含答案）

专题二开放探究问题一、填空题1．(原创题)写出第三象限内的一个点，并使得它在直线y＝x上，这个点可以是________．解析　写出的点只要横纵坐标相等，且都是负数即可．答案　答案不唯一，如(－1，－1)二、解答题2．(改编题)提出问题(1)如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN.求证：∠ABC＝∠ACN.类比探究(2)如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其它条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．拓展延伸(3)如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．(1)证明　∵等边△ABC，等边△AMN，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°.∴∠BAM＝∠CAN.∴△BAM≌△CAN(SAS)．∴∠ABC＝∠ACN.(2)解　结论∠ABC＝∠ACN仍成立．理由如下：∵等边△ABC，等边△AMN，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM≌△CAN. ∴∠ABC＝∠ACN.(3)解　∠ABC＝∠ACN.理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN.∴＝.又∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN.∴△BAM∽△CAN.∴∠ABC＝∠ACN.3．(原创题)如图，点A与点B的坐标分别是(1，0)，(5，0)，点P是该直角坐标系内的一个动点．(1)使∠APB＝30°的点P有________个；(2)若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；(3)当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．解　(1)以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1，P2.在优弧AP1B上任取一点P，如图1， 　　　　图1则∠APB＝∠ACB＝×60°＝30°.∴使∠APB＝30°的点P有无数个．填无数．(2)①当点P在y轴的正半轴上时，过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1.∵点A(1，0)，点B(5，0)，∴OA＝1，OB＝5.∴AB＝4.∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG＝BG＝AB＝2.∴OG＝OA＋AG＝3.∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝4.∴CG＝＝＝2.∴点C的坐标为(3，2)．过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连结CP2，如图1，∵点C的坐标为(3，2)，∴CD＝3，OD＝2.∵P1，P2是⊙C与y轴的交点，∴∠AP1B＝∠AP2B＝30°.∵CP2＝CA＝4，CD＝3，∴DP2＝＝.∵点C为圆心，CD⊥P1P2，∴P1D＝P2D＝.∴P2(0，2－)．P1(0，2＋)．②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P3(0，－2－)．P4(0，－2＋)．综上所述：满足条件的点P的坐标有： (0，2－)，(0，2＋)，(0，－2－)，(0，－2＋)．(3)当过点A，B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．①当点P在y轴的正半轴上时，图2连结EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2.∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP.∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO＝∠POH＝∠EHO＝90°.∴四边形OPEH是矩形．∴OP＝EH，PE＝OH＝3.∴EA＝3.∵∠EHA＝90°，AH＝2，EA＝3，∴EH＝＝＝，∴OP＝，∴P(0，)．②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P(0，－)．理由：①若点P在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取一点M(不与点P重合)，连结MA，MB，交⊙E于点N，连结NA，如图2所示．∵∠ANB是△AMN的外角，∴∠ANB＞∠AMB.∵∠APB＝∠ANB，∴∠APB＞∠AMB.②若点P在y轴的负半轴上，同理可证得：∠APB＞∠AMB.综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，此时点P的坐标为(0，)和(0，－)．4．(改编题)如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－x＋b(b为常数，b＞0)的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D，E，点D在点E上方． (1)若直线AB与有两个交点F、G.①求∠CFE的度数；②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；图1(2)设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE＝45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．　　　解　(1)①如图1∵∠CFE＝∠COE，∠COE＝90°，∴∠CFE＝45°，　　　　②如图2，作OM⊥AB点M，连结OF，∵直线AB的解析式为：y＝图2－x＋b，当x＝0时，y＝－x＋b＝b；当y＝0时，0＝－x＋b，解得x＝b，∴B(0，b)，A(b，0)．∴AB＝＝b.∵S△AOB＝OA×OB＝AB×OM， ∴OM＝b；∴FM2＝OF2－OM2＝42－，∴FG2＝4FM2＝4×，＝64－b2＝64×，图3∴4≤b＜5，　　　(2)如图3，当b＝5时，直线AB与⊙O相切，存在点P，这时点P就是线段AB与⊙O的切点，作PH⊥x轴于点H，连结OP，∵P是切点，∴OP⊥AB，∴∠OAB＋∠AOP＝90°，∠OPH＋∠POH＝90°；∴∠OAB＝∠OPH，∴△AOB∽△PHO，∴＝＝；图4∴OH＝，PH＝；∴P；　　　当b＞5时，如图4，这时AB与⊙O相离，不存在点P，理由如下．连结EP交⊙O于N，再连结CN，CP，∵∠ENC＝45°＞∠CPE，∴∠CPE＜45°.