2022年中考数学一轮导向练习《矩形、菱形、正方形》（含答案）

§4.6　矩形、菱形、正方形一、选择题1.如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是(　　)A．AB∥DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．OA＝OC解析　由菱形的对边平行可知AB∥DC，故A正确；由菱形的对角线互相垂直可知AC⊥BD，故C正确；由菱形的对角线互相平分可知OA＝OC，故D正确；菱形的对角线不一定相等，故B错误，选B.答案　B2．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使得点A和点C重合，折痕是EF，连结EC.若AB＝2，BC＝4，则CE的长为(　　)A．3B．3.5C．2.5D．2.8解析　由折叠知，EF是AC的垂直平分线，∴AE＝EC.设CE＝x，∵AB＝2，BC＝4，∴DE＝4－x.在Rt△CDE中，∵CD2＋DE2＝CE2，即22＋(4－x)2＝x2，解得x＝2.5，∴CE的长为2.5.故选C.答案　C3．顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是(　　)A．正方形B．矩形C．菱形D．等腰梯形解析　连结AC，BD，在△ABD中，∵AH＝HD，AE＝EB，∴EH＝BD. 同理FG＝BD，HG＝AC，EF＝AC.又∵在矩形ABCD中，AC＝BD，∴EH＝HG＝GF＝FE，∴四边形EFGH为菱形．答案　C4．已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图1；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图2；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图3；如此反复操作下去，则第2014个图形中直角三角形的个数有(　　)A．4028个B．4026个C．2014个D．2013个解析　第1，2个图形中，直角三角形的个数相同，都是4个，第3，4个图形中，直角三角形的个数相同，都是2×4＝8个，…，第n，n＋1(n为奇数)个图形中，直角三角形的个数相同，都是×4＝2(n＋1)个．∴当n＋1＝2014时，2(n＋1)＝4028.故选A.答案　A5．如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F.有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A→B→F→C的路径行走至C，乙沿着A→F→E→C→D的路径行走至D，丙沿着A→F→C→D的路径行走至D.若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序(由先至后)是(　　)A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙解析　∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝90°.甲行走的距离是AB＋BF＋CF＝AB＋BC＝2AB，乙行走的距离是AF＋EF＋EC＋CD，丙行走的距离是AF＋FC＋CD.∵∠B＝∠ECF＝90°，∴AF＞AB，EF＞CF，∴AF＋FC＋CD＞2AB，AF＋FC＋CD＜AF＋EF＋EC＋CD，∴甲比丙先到，丙比乙先到，即顺序是甲丙乙．答案　B二、填空题6．如图，在长方形ABCD中，AB∶BC＝3∶5，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交边AD于点E.若AE·DE＝16，则长方形ABCD的面积为________．解析　如图，连结BE，则BE＝BC.设AB＝3x，BC＝5x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3x，AD＝BC＝BE＝5x，∠A＝90°，由勾股定理得：AE＝4x，则DE＝5x－4x＝x.∵AE·DE＝16，∴4x·x＝16，解得：x＝2(负数舍去)，则AB＝3x＝6，BC＝5x＝10，∴矩形ABCD的面积是AB×BC＝6×10＝60.答案　607．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志．将宽为1cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起(如图)，则重叠四边形的面积为________cm2.解析　过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为红丝带宽度相同， 所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF.∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC·AE＝CD·AF.又AE＝AF，∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形．∵∠B＝60°(图2)，作AE⊥BC于E，则AE为丝带宽．在Rt△ABE中，AE＝1cm，∴sin60°＝，∴AB＝cm，所以S菱形＝BC×AE＝(cm2)．答案　8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为(0，2)，B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM＝3，则点C的坐标为________．解析　作CE⊥x轴于E，MN⊥x轴于N.∵四边形ABCD是正方形，∴AM＝CM，AB＝BC，∠ABC＝90°.∵∠ABO＋∠OAB＝90°，∠ABO＋∠CBE＝90°，∴∠OAB＝∠CBE.∴△OAB≌△EBC.∴BE＝OA＝2，CE＝OB.∵AM＝CM，MN⊥x轴，∴MN是梯形OACE的中位线．∴MN＝(OA＋CE)，ON＝(OB＋BE)．∴MN＝ON.∵OM＝3，∴MN＝ON＝3.∴OE＝6，CE＝4.∴点C的坐标为(6，4)．答案　(6，4)9．将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上标记点A1，A2，A3，……，按此规律，则点A2015在射线________上． 解析　落在射线AB上的点依次为：A1，A3，A10，A12…；落在射线CD上的点依次为：A2，A4，A9，A11…；落在射线BC上的点依次为：A5，A7，A14，A16…；落在射线DA上的点依次为：A6，A8，A13，A15…；即每16个数为一个循环节．因为2015÷16＝125……15，而A15落在射线DA上，所以A2015也落在射线DA上．答案　DA三、解答题10．已知，如图，把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，然后将三角板绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.(1)如图1，当三角板绕点A旋转到BM＝DN时，有BM＋DN＝MN.当三角板绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；(2)当三角板绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明． 图1解　(1)中的结论仍然成立，即BM＋DN＝MN.证明：如图1，在MB的延长线上截取BE＝DN，连结AE.易证△ABE≌△ADN(SAS)．∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD.∵∠BAD＝90°，∠NAM＝45°，∴∠BAM＋∠NAD＝45°，∴∠EAB＋∠BAM＝45°.∴∠EAM＝∠NAM.又AM为公共边，∴△AEM≌△ANM.∴ME＝MN.∴MN＝ME＝BE＋BM＝DN＋BM，即DN＋BM＝MN.(2)猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN－BM＝MN.图2证明：如图2，在DN上截取DE＝MB，连结AE.易证△ABM≌△ADE(SAS)．∴AM＝AE，∠MAB＝∠EAD.易证△AMN≌△AEN(SAS)．∴MN＝EN.∵DN－DE＝EN，∴DN－BM＝MN.11．已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B点开始，沿射线BC运动，连结DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连结OP，ON.(当点P在线段BC上时，如图1；当点P在BC的延长线时，如图2) (1)请从图1，图2任选一图证明下面结论：①BN＝CP；②OP＝ON，且OP⊥ON.(2)设AB＝4，BP＝x，试确定以O，P，B，N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．解　(1)选择图1证明．①∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°.∵CN⊥DP，∴∠PCM＋∠CPD＝90°，∠CDP＋∠CPD＝90°.∴∠PCM＝∠CDP.∴△NBC≌△PCD.∴BN＝CP.②∵AB＝BC，BN＝CP，∴AN＝BP.又∵∠OAN＝∠OBP＝45°，OA＝OB，∴△AON≌△BOP.∴OP＝ON，∠AON＝∠BOP.∵∠AON＋∠BON＝90°，∴∠BOP＋∠BON＝90°.即OP⊥ON.∴OP＝ON，且OP⊥ON.选择图2证明．①∵CN⊥DP，∠PCD＝90°，∴∠PDC＝∠PCM＝∠NCB.在△DCP与△CBN中，∵∠PDC＝∠NCB，DC＝CB，∠DCP＝∠CBN＝90°，∴△DCP≌△CBN.∴CP＝BN.②在△COP与△BON中，∵CO＝BO，∠OCP＝∠OBN＝135°，CP＝BN， ∴△COP≌△BON，∴OP＝ON.∴∠COP＝∠BON，而∠BON＋∠NOC＝90°.∴∠COP＋∠NOC＝90°，即OP⊥ON.(2)①当P在BC上，即0