2022年中考数学一轮复习第19讲《特殊三角形》课后练习(含答案)

课后练习19　特殊三角形第1课时　等腰三角形A组1．(2017·常州模拟)一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为(　　)A．17B．15C．13D．13或172．(2016·辽阳模拟)设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是(　　)3．(2016·陕西模拟)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连结DE，则图中等腰三角形共有(　　)A．2个B．3个C．4个D．5个第3题图　第4题图4．(2017·宁波模拟)已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为(　　)A．60°B．45°C．40°D．30°5．(2017·湖北模拟)如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行　　　　　　　　海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．第5题图第6题图6．(2016·海南模拟)已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD＝1，连结DE，则DE＝　　　　　　　　. 7．(2016·邵阳)如图，等腰△ABC纸片(AB＝AC)可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，则在原等腰△ABC中，∠B＝　　　　　　　　度．第7题图第8题图8．(2016·鞍山模拟)如图，H是△ABC的边BC的中点，AG平分∠BAC，点D是AC上一点，且AG⊥BD于点G.已知AB＝12，BC＝15，GH＝5，则△ABC的周长为　　　　　　　　.9．(2017·衢州模拟)如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使点B与点C重合，得到△DCE，连结BD，交AC于点F.第9题图(1)猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；(2)求线段BD的长．10．(2017·海淀模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°.(1)求∠DAC的度数；(2)求证：DC＝AB.　　　　　　第10题图B组11．(2016·荆州)如图，直线a、b相交于点O，∠1＝50°，点A在直线a上，直线b 上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个第11题图12．(2016·哈尔滨模拟)已知：如图，下列三角形中，AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是(　　)第12题图A．①③④B．①②③④C．①②④D．①③13．(2016·新疆)如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是　　　　　　　　.第13题图14．(2016·锦州模拟)如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连结AM.第14题图(1)求证：EF＝AC；(2)若∠BAC＝45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系． 　　　　　　C组15．(2016·淮安)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝∠α(0°＜α＜60°)，分别以AB、BC为边作等边三角形ABE和等边三角形BCD，连结CE，如图1所示．(1)直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(2)判断DC与CE的位置关系，并加以证明；(3)在(2)的条件下，连结DE，如图2，若∠DEC＝45°，求∠α的值．第15题图参考答案 课后练习19　特殊三角形第1课时　等腰三角形A组1．A　2.A　3.D　4.C　5.4　6.　7.72　8.499．(1)AC⊥BD.∵△DCE由△ABC平移而成，∴BE＝2BC＝6，DE＝AC＝CD＝3，∠E＝∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠ACD＝60°，即∠BCA＝∠ACD，BC＝CD，∴BD⊥AC.　(2)在Rt△BED中，∵BE＝6，DE＝3，∴BD2＝BE2－DE2＝62－32，解得BD＝3.10．(1)75°.　(2)略．B组11．D　12.A　13.2414．(1)∵CD＝CB，点E为BD的中点，∴CE⊥BD，∵点F为AC的中点，∴EF＝AC；　(2)∵∠BAC＝45°，CE⊥BD，∴△AEC是等腰直角三角形，∵点F为AC的中点，∴EF垂直平分AC，∴AM＝CM，∵CD＝CM＋DM＝AM＋DM，CD＝CB，∴BC＝AM＋DM.C组15．(1)∵AB＝AC，∠BAC＝∠α，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠α)，∴∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝90°－∠α－60°＝30°－∠α；　(2)DC与CE垂直；连结AD；∵∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠ABE－∠DBE＝∠DBC－∠DBE，即∠ABD＝∠EBC，在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC，∴∠ADB＝∠ECB，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD＝∠CAD＝∠α，∴∠BDA＝180°－∠ABD－∠BAD＝180°－－∠α＝150°，∴∠BCE＝150°，∵∠BCD＝60°，∴∠DCE＝90°，即DC与CE垂直．　(3)∵∠DCE＝90°，又∵∠DEC＝45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC＝CE＝BC，∵∠BCE＝150°，∴∠EBC＝15°，∵∠EBC＝30°－∠α＝15°，∴∠α＝30°. 第15题图课后练习19　特殊三角形第2课时　直角三角形A组1．(2016·兰州模拟)下列说法中，不正确的是(　　)A．三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形B．三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C．三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形D．三边长度之比为9∶40∶41的三角形是直角三角形2．(2015·襄阳模拟)如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.若BE＝2，则AE的长为(　　)A.B．1C.D．2第2题图第3题图3．(2016·眉山模拟)如图是第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么(a＋b)2的值为(　　)A．13B．19C．25D．1694．(2016·贺州模拟)如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45度．若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为(　　)A．10cmB．20cmC.30cmD．35cm 第4题图5．(2016·枣庄模拟)如图，已知∠MON＝60°，OP是∠MON的角平分线，点A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B，AB＝4.则直线AB与ON之间的距离是(　　)A.B．2C．2D．4第5题图6．(2016·湘西州模拟)如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点，则DM的长是(　　)A．2B.C.D．2第6题图7．(2016·泰安模拟)如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数为(　　)A．6B．7C．8D．9第7题图8．(2016·盐城模拟)如图，等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则＝____________________. 第8题图9．(2016·菏泽模拟)如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝4，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　.　　第9题图10．(2016·滨州模拟)分别在以下网格中画出图形．(1)在网格中画出一个腰长为，面积为3的等腰三角形；(2)在网格中画出一个腰长为的等腰直角三角形．第10题图　　　　　　　　11．(2016·丹东模拟)如图，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．第11题图 　　　　　　　　12．(2016·荆门模拟)如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．(1)求证：BE＝CE；(2)如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其他条件不变．求证：△AEF≌△BCF.第12题图　　　　　　　　B组13．(2016·潍坊)木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是(　　) 14．(2016·锦州模拟)数学活动课上，老师在黑板上画直线l平行于射线AN(如图)，让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画　　　　　　　　个．第14题图C组15．如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP.第15题图(1)如图1，请你写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；(2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点O，连结AP，BO.猜想并写出BO与AP所满足的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)将△EFP沿直线l继续向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点O，连结AP，BO.此时，BO与AP还具有(2)中的数量关系和位置关系吗？请说明理由． 参考答案第2课时　直角三角形A组1．B　2.B　3.C　4.D　5.C　6.C　7.C　8.　9.810．(1)如图1所示：　(2)如图2所示：第10题图10．连结AC，如图所示：第11题图∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，又∵AB＝3，BC＝4，∴根据勾股定理得：AC＝＝5，又∵CD＝12，AD＝13，∴AD2＝132＝169，CD2＋AC2＝122＋52＝144＋25＝169，∴CD2＋AC2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，则S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·CD＝×3×4＋×5×12＝36.故四边形ABCD的面积是36.12．(1)略；　(2)先判定△ABF为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF＝BF，再根据同角的余角相等求出∠EAF＝∠CBF，然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可．∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，∴△ABF为等腰直角三角形，∴AF＝BF.∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠EAF＋∠C＝90°，∵BF⊥AC，∴∠CBF＋∠C＝90°，∴∠EAF＝∠CBF，在△AEF和△BCF中，∴△AEF≌△BCF(ASA)．B组13．D　14.3C组15．(1)AP＝AB，AP⊥AB；　(2)延长BO交AP于H点，如图2.∵∠EPF＝45°，∴△ OPC为等腰直角三角形，∴OC＝PC，∵在△ACP和△BCO中，∴△ACP≌△BCO(SAS)，∴AP＝BO，∠CAP＝∠CBO，而∠AOH＝∠BOC，∴∠AHO＝∠BCO＝90°，∴AP⊥BO.即BO与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直；第15题图(3)BO与AP满足AP＝BO，AP⊥BO.理由如下：延长OB交AP于点H，如图3，∵∠EPF＝45°，∴∠CPO＝45°，∴△CPO为等腰直角三角形，∴OC＝PC，∵在△APC和△BOC中，，∴△APC≌△BOC(SAS)，∴AP＝BO，∠APC＝∠COB，而∠PBH＝∠CBO，∴∠PHB＝∠BCO＝90°，∴BO⊥AP.即BO与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直．