一、选择题1、(顺义区初三上学期期末)8.如图1,点P从△ABC的顶点A出发,沿A-B-C匀速运动,到点C停止运动.点P运动时,线段AP的长度与运动时间的函数关系如图2所示,其中D为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是A.10B.12C.20D.24答案:B二、解答题2.(市朝阳区一模)抛物线的对称轴为直线x=1,该抛物线与轴的两个交点分别为A和B,与y轴的交点为C,其中A(1,0).(1)写出B点的坐标;(2)若抛物线上存在一点P,使得△POC的面积是△BOC的面积的2倍,求点P的坐标;(3)点M是线段BC上一点,过点M作轴的垂线交抛物线于点D,求线段MD长度的最大值.解:(1)(3,0).………………………………………………………………………1分(2)由A(1,0),B(3,0),求得抛物线的表达式为.…………2分∴C(0,3).
∴.∴.设点P的横坐标为,求得.代入抛物线的表达式,求得点P的坐标为(6,21),(6,45).………………4分(3)由点B(3,0),C(0,3),求得直线BC的表达式为.……………5分设点M(a,a3),则点D(a,a22a3).∴MD=a3(a22a3)=a2+3a=.……………………………………………………6分∴当时,MD的最大值为.…………………………………………………7分3.(怀柔区一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=nx2-4nx+4n-1(n≠0),与x轴交于点C,D(点C在点D的左侧),与y轴交于点A.(1)求抛物线顶点M的坐标;(2)若点A的坐标为(0,3),AB∥x轴,交抛物线于点B,求点B的坐标;(3)在(2)的条件下,将抛物线在B,C两点之间的部分沿y轴翻折,翻折后的图象记为G,若直线与图象G有一个交点,结合函数的图象,求m的取值范围.解:(1)M(2,-1);………………………………………………………………………………2分(2)B(4,3);…………………………………………………………………………………3分(3)∵抛物线y=mx2-4mx+4m-1(m≠0)与y轴交于点A(0,3),∴4n-1=3.∴n=1.……………………………………………………………………………………4分∴抛物线的表达式为.由.由△=0,得:……………………………………………………………………5分∵抛物线与x轴的交点C的坐标为(1,0),
∴点C关于y轴的对称点C1的坐标为(-1,0).把(-1,0)代入,得:.……………………………………………6分把(-4,3)代入,得:.∴所求m的取值范围是或<m≤5.…………………………………………7分4、(朝阳区第一学期期末检测)已知抛物线l1与l2形状相同,开口方向不同,其中抛物线l1:交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),且AB=6;抛物线l2与l1交于点A和点C(5,n).(1)求抛物线l1,l2的表达式;(2)当x的取值范围是时,抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大;(3)直线MN∥y轴,交x轴,l1,l2分别相交于点P(m,0),M,N,当1≤m≤7时,求线段MN的最大值.答案:(1)由题意可知,抛物线l1的对称轴为直线.………………1分∵抛物线l1交x轴于A,B两点(点A在点B左侧),且AB=6,∴A(1,0),B(7,0).把A(1,0)代入,解得.∴抛物线l1的表达式为.………………………………………………2分把C(5,n)代入,解得.∴C(5,4).∵抛物线l1与l2形状相同,开口方向不同,.∴设抛物线l2的表达式为.把A(1,0),C(5,4)代入,得,解得.∴抛物线l2的表达式为.………………………………………………3分(2)2≤x≤4;…………………………………………………………………………………4分(3)∵直线MN∥y轴,交x轴,l1,l2于点P(m,0),M,N,∴M(m,),N(m,).………………5分
①如图1,当1≤m≤5时,∴当m=3时,MN的最大值为4;……………6分图1②如图2,当5﹤m≤7时,4﹤m≤7在对称轴m=3右侧,MN随m的增大而增大.∴当m=7时,MN的最大值是12.……………7分综上所述,线段MN的最大值是12.5.(大兴第一学期期末)ABCD是一块边长为2米的正方形铁板,在边AB上选取一点M,分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料.当AM的长为何值时,截取两块相邻的正方形板料的总面积最小?解:设AM的长为米,则MB的长为米,以AM和MB为边的两个正方形面积之和为y平方米.根据题意,y与x之间的函数表达式为因为2>0于是,当时,y有最小值………………………..4分所以,当AM的长为1米时截取两块相邻的正方形板料的总面积最小.……………………………………………………………..5分