一、选择题1．（东城区一模）如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB=CG=EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出.其间两车到点O的距离y（m）与时间x(s)的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是A.甲车在立交桥上共行驶8sB.从F口出比从G口出多行驶40mC.甲车从F口出，乙车从G口出D.立交桥总长为150m答案C2、（东城区初一第一学期期末）古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数.我们注意到，某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和，例如：.（1）请将写成两个埃及分数的和的形式_______________；（2）若真分数可以写成两个埃及分数和的形式，请写出两个不同的取值_________.答案：（答案不唯一）3.（昌平区初二年级期末）阅读下面计算的过程，然后填空．
解：∵，，…，，∴====.以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成：（1）=；（2）当时，最后一项x=.答案：4．（市海淀区八年级期末）阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．
他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数．延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18．最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．参考小明思考问题的方法，解决下列问题：（1）计算所得多项式的一次项系数为．（2）计算所得多项式的一次项系数为．（3）若计算所得多项式的一次项系数为0，则=_________．（4）若是的一个因式，则的值为．（1）7．-----------------------------------------------------------------------1分（2）．--------------------------------------------------------------------------3分（3）．-----------------------------------------------------------------------5分（4）．-------------------------------------------------------------------7分5.（市怀柔区初二期末）在学习了“求简单随机事件发生的可能性大小”知识后，小敏，小聪，小丽三人分别编写了一道有关随机事件的试题并进行了解答.小敏，小聪，小丽编写的试题分别是下面的（1）（2）（3）.（1）一个不透明的盒子里装有4个红球，2个白球，除颜色外其它都相同，搅均后，从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是多少？
解：P（摸出一个红球）=.（2）口袋里装有如图所示的1角硬币2枚、5角硬币2枚、1元硬币1枚.搅均后，从中随意摸出一枚硬币，摸出1角硬币的可能性是多少？解：P（摸出1角的硬币）=.（3）如图，是一个转盘，盘面上有5个全等的扇形区域，每个区域显示有不同的颜色，轻轻转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域的可能性是多少？解：P（指针对准红色区域）=.根据以上材料回答问题：小敏，小聪，小丽三人中，谁编写的试题及解答是正确的，并简要说明其他两人所编试题或解答的不足之处.答：第一个小敏的试题及答案是正确的.小聪的试题中，因为1角、5角、1元的硬币大小不同,不符合每个结果发生的可能性都相同的条件，因此不能用上述求随机事件可能性的方法解答.小丽的试题中，因为轻轻转动转盘时,指针指向每个区域机会不等，不具有随机性，也不符合每个结果发生的可能性都相同的条件，因此也不能用上述解答方法解答.6．（市门头沟区八年级期末）阅读材料，并回答问题：小明在学习分式运算过程中，计算的解答过程如下：解：①②③
④⑤问题：（1）上述计算过程中，从步开始出现了错误（填序号）；（2）发生错误的原因是：；（3）在下面的空白处，写出正确的解答过程：解：（1）从第③步开始出现错误；………………………………………………………1分（2）略；………………………………………………………………………………2分（3）…………………………………………………………………3分……………………………………………………………………4分…………………………………………………………………………5分7．（市门头沟区八年级期末）阅读材料：我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个i就叫做虚数单位.虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数.一个复数可以表示为（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部.复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似.例如计算：根据上述材料，解决下列问题：（1）填空：，；
（2）计算：；（3）将化为（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）.解：（1）填空：，；………………………………………………………2分（2）计算：；…………………………………5分（3）化简：………………………8分8．（市石景山区初二期末）阅读下列材料：在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：小杰说：解这个关于的分式方程，得.由题意可得，所以，问题解决．小哲说：你考虑的不全面，还必须保证，即才行.（1）请回答：的说法是正确的，并简述正确的理由是；（2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：若关于x的方程的解为非负数，求的取值范围．解：（1）小哲；理由：分式方程的解一定要保证最简公分母不为零，否则分式方程中的分式没有意义．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分（2）原方程可化为．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分去分母得：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分解得：
∵原方程的解为非负数，∴⋯⋯⋯⋯⋯5分即：，解得．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分9．（市西城区八年级期末）阅读材料：课堂上，老师设计了一个活动：将一个4×4的正方形网格沿着网格线划分成两部分（分别用阴影和空白表示），使得这两部分图形是全等的，请同学们尝试给出划分的方法．约定：如果两位同学的划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么就认为他们的划分方法相同．小方、小易和小红分别对网格进行了划分，结果如图1、图2、图3所示．小方说：“我们三个人的划分方法都是正确的．但是将小红的整个图形（图3）逆时针旋转90°后得到的划分方法与我的划分方法（图1）是一样的，应该认为是同一种方法，而小易的划分方法与我的不同．”老师说：“小方说得对．”图3图2图1完成下列问题：（1）图4的划分方法是否正确？答：_______________．（2）判断图5的划分方法与图2小易的划分方法是否相同，并说明你的理由；
答：____________________________________________________________________．（3）请你再想出一种与已有方法不同的划分方法，使之满足上述条件，并在图6中画出来．图5图4图6解：（1）不正确；………………………………………………………………………1分（2）相同，…………………………………………………………………………2分理由合理即可，如：因为将图5沿直线翻折后得到的划分方法与图2的划分方法相同；…………………………………………………………………………3分（3）答案不唯一．如：…………………………………5分10．（延庆区八年级第一学区期末）阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使且mn=，则可变为，即变成，从而使得化简。
例如：∵∴请你仿照上例解下面问题（1）（2）解:（1）…………2分∴…………3分（2）∵…5分∴……7分11.（西城区二模）阅读下面材料：已知：如图，在正方形ABCD中，边.
按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小.请解决以下问题：（1）完成表格中的填空：①；②；③；④；（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ（不要求尺规作图）.解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．…………………1分
②．…………………2分③．…………………3分④．………………4分（2）所画正方形CHIJ见图7.……………………………6分12、（延庆区初一第一学期期末）阅读材料．年10月18日，第十九次全国代表大会在人民大会堂隆重开幕．十九大提出，既要创造更多物质财富和精神财富以满足人民日益增长的美好生活需要，也要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要．必须坚持节约优先、保护优先、自然恢复为主的方针，形成节约资源和保护环境的空间格局、产业结构、生产方式、生活方式，还自然以宁静、和谐、美丽．为了保护环境节约水资源，我市按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．居民用户按照以下的标准执行：第一阶梯上限180立方米，水费价格为5元/每立方米；第二阶梯为181-260立方米之间，水费价格7元/每立方米；第三阶梯为260立方米以上用水量，水价为9元/每立方米．如下表所示：供水类型阶梯户年用水量水价其中
（立方米）水费水资源费污水处理费自来水第一阶梯0-180（含）52.071.571.36第二阶梯181-260（含）74.07第三阶梯260以上96.07根据以上材料解决问题：若小明家在2017年共用水200立方米，准备1000元的水费够用吗？说明理由．答案解：180×5+（200-180）×7------------------1分=900+140=1040-----------------------------------2分∵1040＞1000∴准备1000元的水费不够.--------------------3分（延庆区初一第一学期期末）26．阅读材料．点M，N在数轴上分别表示数m和n，我们把m，n之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN=|m-n|．如图，在数轴上，点A，B，O，C，D的位置如图所示，则DC=|3-1|=|2|=2；CO=|1-0|=|1|=1；BC=|(-2)-1|=|-3|=3；AB=|(-4)-(-2)|=|-2|=2．（1）OA=，BD=；（2）|1-(-4)|表示哪两点的距离？（3）点P为数轴上一点，其表示的数为x，用含有x的式子表示BP=，当BP=4时，x=；当|x-3|+|x+2|的值最小时，x的取值范围是．答案26．（1）4…………………………………1分5…………………………………2分（2）A，C…………………………………3分
（3）|x+2|…………………………………4分2或-6…………………………………5分-2≤x≤3…………………………………6分13.（门头沟区初三综合练习）有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为，(点B在点A的右侧)；②对称轴是；③该函数有最小值是-2.（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，平行于x轴的直线与图象“G”相交于点、、（），结合画出的函数图象求的取值范围.（1）解：有上述信息可知该函数图象的顶点坐标为:设二次函数表达式为：……………1分∵该图象过∴，解得……………2分
∴表达式为（2）图象正确………………………………………………………3分由已知条件可知直线与图形“G”要有三个交点①当直线与x轴重合时，有2个交点,由二次函数的轴对称性可求……………………………………4分∴……………………………………5分②当直线过的图象顶点时，有2个交点，由翻折可以得到翻折后的函数图象为∴令时，解得，舍去…………6分∴综上所述………14、（燕山地区第一学期初四年级期末）28．在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线。光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．
（1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线和反射点P3；（2）当⊙O的半径为1时，如图3，①第一象限内的一条入射光线平行于y轴，且自⊙O的外部照射在圆上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与x轴平行，则反射光线与切线l的夹角为°；②自点M(0，1)出发的入射光线，在⊙O内顺时针方向不断地反射．若第1个反射点是P1，第二个反射点是P2，以此类推，第8个反射点是P8恰好与点M重合，则第1个反射点P1的坐标为；（3）如图4，点M的坐标为(0，2)，⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围．
答案：（1）在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线和反射点P3；…………………2分（2）①反射光线与切线l的夹角为__________°；②第1个反射点P1的坐标为______________；…………………5分（3）①如图2，直线OQ与⊙M相切于点Q，点Q在第一象限，连接MQ，过点Q作QH⊥x轴于点H．∵直线OQ与⊙M相切于点Q，∴MQ⊥OQ．∴∠MQO=90°．∵MO=2，MQ=1，∴在Rt△MQO中，sin∠MOQ=．∴∠MOQ=30°．∴OQ=OM﹒cos∠MOQ=．∵QH⊥x轴，
∴∠QHO=90°．∵∠QOH=90°∠MOQ=60°，∴在Rt△QOH中，QH=OQ﹒sin∠QOH=．…………………………6分②如图3，当反射光线PN与坐标轴平行时，连接MP并延长交x轴于点D，过点P作PE⊥OD于点E，过点O作OF⊥PD于点F．∵直线l是⊙M的切线，∴MD⊥l．∴∠1+∠OPD=∠2+∠NPD=90°．∵∠1=∠2，∴∠OPD=∠NPD．∵PN∥x轴，∴∠NPD=∠PDO．∴∠OPD=∠PDO．∴OP=OD．∵OF⊥PD，∴∠MFO=90°，PF=FD．∵，设PF=FD=，而MO=2，MP=1，∴．解得．∵，∴．∵PE⊥OD，
∴∠PED=90°=∠MOD．∴PE∥MO．∴∠EPD=∠OMF．∴cos∠EPD=cos∠OMF．∴．∴==．…………………………………………………………7分可知，当反射点P从②中的位置开始，在⊙M上沿逆时针方向运动，到与①中的点Q重合之前，都满足反射光线与坐标轴无公共点，所以反射点P的纵坐标的取值范围是．………………………………8分15、(朝阳区七年级第一学期期末)阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，∠AOB=80°，OC平分∠AOB．若∠BOD=20°，请你补全图形，并求∠COD的度数．以下是小明的解答过程：解：如图1，因为OC平分∠AOB，∠AOB=80°，
所以=________=_________°．因为∠BOD=20°，所以°．小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是OD在∠AOB外部的情况，事实上，OD还可能在∠AOB的内部”．图1完成以下问题：（1）请你将小明的解答过程补充完整；（2）根据小静的想法，请你在图2中画出另一种情况对应的图形，并直接写出此时∠COD的度数为°．图2答案解：（1），40，60.（2）如图.图2
∠COD的度数为20°．16、（西城区七年级第一学期期末附加题）阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定两点A，B以及一条线段PQ，若线段AB的中点R在线段PQ上（点R能与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段PQ径向对称.下图为点A与点B关于线段PQ径向对称的示意图.解答下列问题：如图1，在数轴上，点?为原点，点A表示的数为−1，点M表示的数为2.图1（1）①点B，C，D分别表示的数为−3，，3，在B，C，D三点中，与点A关于线段OM径向对称；②点E表示的数为x，若点A与点E关于线段OM的径向对称，则x的取值范围是；（2）点N是数轴上一个动点，点F表示的数为6，点A与点F关于线段ON径向对称，线段ON的最小值是；（3）在数轴上，点H，K，L表示的数分别是−5，−4，−3，当点H以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，线段KL同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动.设移动的时间为?（?>0）秒，问?为何值时，线段KL上至少存在一点与点H关于线段OM径向对称.解：（1）①与点A关于线段OM的径向对称；
②x的取值范围是；（2）线段ON的最小值是；（3）3．（1）①点C，点D与点A是关于线段OM的径向对称点；2分②x的取值范围是1≤?≤5；4分（2）5分（3）解：移动时间为?（?>0）秒时，点H，K，L表示的数分别是−5+?，−4+3?，−3+3?.此时，线段HK的中点R1表示的数是，线段HL的中点R2表示的数是2?−4.当线段R1R2在线段OM上运动时，线段KL上至少存在一点与点P关于线段OM径向对称.当R2经过点O时，2?−4=0时，?=2.当R1经过点M时，=2时，?=.∴当2≤?≤时，线段R1R2在线段OM上运动.∴2≤?≤时，线段KL上至少存在一点与点P关于线段OM径向对称.
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