2022年中考数学一轮精讲精练第21课时《图形的相似与位似》 (含详解)

第21课时　图形的相似与位似　平面直角坐标系中的位似变换1.如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且＝，若点A（－1，0），点C，则A′C′＝　　.　相似三角形的判定与性质2.如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E.（1）求证：∠1＝∠CAD；（2）若AE＝EC＝2，求⊙O的半径.（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°.∵AC为⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD＋∠CAD＝90°.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵∠1＝∠BDO，∴∠1＝∠CAD；（2）解：∵∠1＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD∶CA＝CE∶CD，∴CD2＝CA·CE.∵AE＝EC＝2，∴AC＝AE＋EC＝4，∴CD＝2.设⊙O的半径为x，则OA＝OD＝x，则在Rt△AOC中，OA2＋AC2＝OC2，∴x2＋42＝（2＋x）2，解得x＝.∴⊙O的半径为. 核心考点解读　比例的相关概念及性质1.两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a，b得到它们的长度，我们把这两条线段的　长度　的比叫做这两条线段的比.2.成比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段a，b的比，等于另外两条线段c，d的比，即　＝　（或a∶b＝c∶d），那么这四条线段的比叫做成比例线段.如果＝，即b2＝　ac　，那么b就是a，c的比例中项.3.比例的性质基本性质如果＝，那么　ad　＝bc（b，d≠0）合（分）比性质如果＝，那么＝（b，d≠0）等比性质如果＝＝…＝，且b1＋b2＋…＋bn≠0，那么＝　　4.黄金分割：如图，如果点C把线段AB分成两条线段，使＝　　，那么点C叫做线段AB的　黄金分割点　，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比值为　　Ｗ.5.平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.　相似三角形及其性质与判定6.相似三角形：对应角　相等　，对应边　成比例　的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比.7.相似三角形的性质（1）相似三角形的　对应角　相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于　相似比　，面积比等于　相似比的平方　Ｗ.8.相似三角形的判定（1）　两　角分别相等的两个三角形相似；（2）两边成比例且　夹角　相等的两个三角形相似；（3）三边　成比例　的两个三角形相似；（4）平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似； （5）对于两个直角三角形，除了以上判定方法外，还可以通过得到：①一个锐角相等；②两组直角边对应成比例；③斜边和一直角边对应成比例来判定这两个直角三角形相似.9.相似多边形：一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.　图形的位似变换10.位似图形：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做　位似中心　.【温馨提示】（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于　相似比　Ｗ.（2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，原图形上点的坐标为（x，y），那么位似图形上的点的坐标为　（kx，ky）　或　（－kx，－ky）　Ｗ.11.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是　位似中心　Ｗ.12.位似作图的步骤（1）确定　位似　中心、原图形的关键点、　相似比　（即要将图形放大或缩小的倍数）；（2）作出原图形中各关键点的对应点；（3）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.1.（定西）已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　B　）A.＝B.2a＝3bC.＝D.3a＝2b2.（成都）已知＝＝，且a＋b－2c＝6，则a的值为　12　.3.（嘉兴）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F.已知＝，则＝　2　Ｗ.4.（）两三角形的相似比是2∶3，则其面积之比是（　C　）A.∶B.2∶3C.4∶9D.8∶27 5.（永州）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（　B　）A.2B.4C.6D.86.（滨州）在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（　C　）A.（5，1）B.（4，3）C.（3，4）D.（1，5）7.（河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE＝BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝2，BC＝3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论.　　　　　　图1　　　　　图2（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC.∵AE⊥BF，∴∠AMB＝∠BAM＋∠ABM＝90°.∵∠ABM＋∠CBF＝90°，∴∠BAM＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF；（2）解：AE＝BF.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°.∵AE⊥BF，∴∠AMB＝∠BAM＋∠ABM＝90°.∵∠ABM＋∠CBF＝90°，∴∠BAM＝∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴＝＝，∴AE＝BF. 8.（来宾）如图，在正方形ABCD中，H为CD的中点，延长AH至F，使AH＝3FH，过F作FG⊥CD，垂足为G，过F作BC的垂线交BC的延长线于点E.（1）求证：△ADH∽△FGH；（2）求证：四边形CEFG是正方形.证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADH＝90°，AD＝DC.∵FG⊥CD，∴∠ADH＝∠FGH＝90°.又∵∠AHD＝∠FHG，∴△ADH∽△FGH；（2）∵△ADH∽△FGH，∴＝＝.∵AH＝3FH，∴＝＝3，∴FG＝AD，DH＝3GH.∵H为CD的中点，∴DH＝CH，∴CG＝2GH，∴CD＝6GH，∴CG＝CD，∴FG＝CG.∵FG⊥CD，DC⊥BE，FE⊥BE，∴四边形CEFG是正方形.典题精讲精练　平行线分线段成比例例1　如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（　D　）　　　　　　　　　　　　　　　A.BC＝3DE B.＝C.△ADE∽△ABCD.S△ADE＝S△ABC【解析】根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质解答即可.∵BD＝2AD，∴AB＝3AD.∵DE∥BC，∴＝＝，∴BC＝3DE，故A结论正确；∵DE∥BC，∴＝，故B结论正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故C结论正确；∵DE∥BC，AB＝3AD，∴S△ADE＝S△ABC，故D结论错误.【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，灵活运用平行线分线段成比例定理、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.　相似三角形的判定与性质例2　如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长.【解析】（1）由已知可得∠B＝∠C，∠DEB＝∠ADC＝90°即可解决问题；（2）利用面积法：S△ABD＝AD·BD＝AB·DE求解即可.【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∠B＝∠C.∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC＝90°，∴△BDE∽△CAD；（2）由（1）知，∠ADB＝90°.在Rt△ADB中，BD＝BC＝5，∴AD＝＝＝12.∵S△ABD＝AD·BD＝AB·DE， ∴DE＝.【点评】本题第（2）问也可以利用（1）中结论求解.　图形的位似变换例3　（中考）如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1.（1）△A1B1C1与△ABC的相似比是　2　；（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是　（－2a，2b）　Ｗ.【解析】（1）根据位似图形可得相似比即可；（2）根据轴对称图形的画法画出图形即可；（3）根据两次变换的坐标变化规律得出坐标即可.【解答】解：（1）[△A1B1C1与△ABC的相似比为＝＝2.]（2）如图所示；（3）[点P（a，b）为△ABC内一点，依次经过上述两次变换后，点P的对应点的坐标为（－2a，2b）.]【点评】此题考查作图问题，关键是根据轴对称图形的画法和位似图形的性质分析.1.（云南）如图，已知AB∥CD，若＝，则＝　　Ｗ.,（第1题图）　　　,（第2题图）2.如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，则EF的长为　6　Ｗ.3.（贵港）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，若S四边形BCFE＝16，则S△ABC＝（　B　） A.16　　　　　　　B.18C.20　　　　　　　D.244.（泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（　C　）A.B.C.D.,（第4题图）　　　,（第5题图）5.（）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB＝3，BC＝4，则的值为　　Ｗ.6.已知AD为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为M，分别过A，D两点作BC的垂线，垂足分别为B，C，AD的延长线与BC相交于点E.（1）求证：△ABM∽△MCD；（2）若AD＝8，AB＝5，求ME的长.（1）证明：∵AD为⊙O的直径，∴∠AMD＝90°，∴∠BMA＋∠CMD＝90°.又∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠ABM＝∠MCD＝90°，∴∠BAM＋∠BMA＝90°，∴∠BAM＝∠CMD，∴△ABM∽△MCD；（2）连接OM，则OM⊥BC，∴OM∥AB，∴△EMO∽△EBA.∵AD＝8，∴AO＝OD＝OM＝4，∴＝，即＝，∴ED＝12，∴EO＝12＋4＝16. 在Rt△EMO中，ME＝＝＝4，即ME的长为4.7.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（5，0），则点A的坐标为（　B　）A.（2，5）B.（2.5，5）C.（3，5）D.（3，6）8.（安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点.（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是　20　个平方单位.解：（1）如图，线段A1B1即为所求；（2）如图，线段A2B1即为所求；（3）由图可得，四边形AA1B1A2为正方形，∴四边形AA1B1A2的面积是（）2＝20.