2022年中考数学一轮精讲精练第11课时《一次函数》 (含详解)

第11课时　一次函数　一次函数与一元一次不等式1.（2016·）直线y＝kx＋3经过点A（2，1），则不等式kx＋3≥0的解集是（　A　）A.x≤3B.x≥3C.x≥－3D.x≤0　一次函数图象上点的坐标特征2.已知点A的坐标为（2，0），点P在直线y＝x上运动，当以点P为圆心，PA的长为半径的圆的面积最小时，点P的坐标为（　C　）A.（1，－1）B.（0，0）C.（1，1）D.（，）　用待定系数法求一次函数解析式3.（改编）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于M（1，3），N两点，点N的横坐标为－3.求一次函数的解析式.解：∵反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于M（1，3），∴m＝3，∴y＝.∵点N的横坐标为－3，∴点N的纵坐标为－1，即N（－3，－1）.把M，N的坐标代入y＝kx＋b，得解得∴一次函数的解析式为y＝x＋2.核心考点解读　一次函数及其图象与性质1.一次函数及正比例函数的概念一般地，形如y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数.形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数叫做正比例函数.【温馨提示】一次函数y＝kx＋b（k≠0）中b＝0时，y＝kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数.正比例函数是一次函数，反之不一定成立；定义中k≠0是非常重要的条件，若k＝0，则函数就成为y＝b（b为常数），此函数是常函数，不是一次函数.2.一次函数的图象和性质 一次函数y＝kx＋b（k≠0）k，b符号k＞0k＜0b＞0b＜0b＝0b＞0b＜0b＝0图象经过象限经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限增减性y随x的增大而增大y随x的增大而减小与坐标轴的交点与x轴的交点坐标为　　，与y轴的交点坐标为　（0，b）　（b为截距）3.一次函数的平移一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象向上或向下平移m（m>0）个单位长度的解析式为y＝kx＋（b±m）；向左或向右平移m个单位长度的解析式为y＝k（x±m）＋b.　一次函数解析式的确定4.确定一次函数解析式的常用方法是　待定系数法　，具体步骤：（1）设出一次函数解析式y＝kx＋b（k≠0）；（2）将题中条件（图象上点的坐标）代入解析式y＝kx＋b，得到含有待定系数k，b的方程（组）；（3）解方程（组）求出待定系数k，b的值；（4）将所求待定系数的值代回所设函数解析式中.　一次函数与方程、不等式的关系5.一次函数与方程（组）的关系（1）一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）可转化为二元一次方程kx－y＋b＝0；（2）一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的横坐标　－　是方程kx＋b＝0的解；（3）一次函数y＝kx＋b与y＝k1x＋b1图象交点的横、纵坐标值是方程组的解.6.一次函数与不等式的关系（1）如图①，函数y＝kx＋b中，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx＋b＞0的解集，对应的函数图象为位于x轴上方的部分，即x＜a；当函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx＋b＜0的解集，对应的函数图象为位于x轴下方的部分，即x＞a.（2）两个一次函数可将平面分成四部分，比较两函数交点左右两边图象上下位置来判断不等式的解集，即k1x＋b1＞k2x＋b2的解集为x＞a；k1x＋b1＜k2x＋b2的解集为x＜a（如图②）. 1.（）如图，直线y＝2x必过的点是（　D　）A.（2，1）B.（2，2）C.（－1，－1）D.（0，0）2.（湘潭）若b＞0，则一次函数y＝－x＋b的图象大致是（　C　）　A　　　　B　　　　C　　　　D3.正比例函数y＝（k＋1）x，若y随x增大而减小，则k的取值范围是（　D　）A.k＞1B.k＜1C.k＞－1D.k＜－14.（）等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（　B　）A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数5.（）如图，直线y＝ax＋b过点A（0，2）和点B（－3，0），则方程ax＋b＝0的解是（　D　）A.x＝2B.x＝0C.x＝－1D.x＝－36.如图，已知直线y1＝x＋m与y2＝kx－1相交于点P（－1，1），则关于x的不等式x＋m＞kx－1的解集在数轴上表示正确的是（　B　）　　A　　　　B　　　　C　　　　　D7.（）直线y＝2x＋1经过点（0，a），则a＝　1　Ｗ.8.（钦州）一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过A（1，0）和B（0，2）两点，则它的图象不经过第　三　象限.9.直线l的解析式为y＝－2x＋2，分别交x轴，y轴于点A，B. （1）写出A，B两点的坐标，并作出直线l；（2）将直线l向上平移4个单位得到l1，l1交x轴于点C.作出直线l1，l1的解析式是　y＝－2x＋6　；（3）将直线l1绕点A顺时针旋转90°得到l2，l2交l1于点D.作出直线l2，tan∠CAD＝　　Ｗ.解：（1）y＝－2x＋2中，当y＝0时，－2x＋2＝0，解得x＝1，即点A（1，0）；当x＝0时，y＝2，即点B（0，2）.直线l如图所示；（2）直线l1如图所示；[直线l1的解析式为y＝－2x＋2＋4＝－2x＋6.]（3）直线l2如图所示.典题精讲精练　一次函数的图象及性质例1　关于函数y＝－2x＋1，下列结论正确的是（　D　）A.图象必经过（－2，1）B.y随x的增大而增大C.图象经过第一、二、三象限D.当x＞时，y＜0【解析】A.当x＝－2时，y＝－2×（－2）＋1＝5，图象必经过（－2，5），故错误；B.k＜0，则y随x的增大而减小，故错误；C.k＝－2＜0，b＝1＞0，则图象经过第一、二、四象限，故错误；D.当x＞时，y＜0，正确.【点评】本题考查一次函数的性质，注意一次函数解析式的系数与图象的联系.　一次函数表达式的确定及与方程、不等式的关系例2　若一条直线经过点（－1，1）和点（1，5），则这条直线与x轴的交点坐标为　　Ｗ.【解析】先把（－1，1）和点（1，5）代入直线解析式y＝kx＋b（k≠0），求得该直线的解析式，然后令y＝0，即可求得这条直线与x轴的交点横坐标.设经过点（－1，1）和点（1，5）的直线解析式为y＝kx＋b（k≠0），则解得所以该直线解析式为y＝2x＋3.令y＝0，则x＝－，故这条直线与x轴的交点坐标为. 例3　如图，函数y＝ax－1的图象过点（1，2），则不等式ax－1＞2的解集是　x＞1　Ｗ.【解析】方法一：把（1，2）代入y＝ax－1，得2＝a－1，解得a＝3，∴3x－1＞2，解得x＞1；方法二：根据图象可知，y＝ax－1＞2的x的范围是x＞1，即不等式ax－1＞2的解集是x＞1.【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，能把一次函数与一元一次不等式结合起来是解此题的关键.　一次函数的应用例4　（北部湾）某公司在甲、乙两仓库共存放某种原料450t.如果运出甲仓库所存原料的60%，乙仓库所存原料的40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30t.（1）求甲、乙两仓库各存放原料多少吨；（2）现公司需将300t原料运往工厂，从甲、乙两仓库到工厂的运价分别为120元/t和100元/t.经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a元/t（10≤a≤30），从乙仓库到工厂的运价不变.设从甲仓库运mt原料到工厂，请求出总运费W关于m的函数解析式（不要求写出m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，请根据函数的性质说明：随着m的增大，W的变化情况.【解析】（1）根据甲、乙两仓库原料间的关系，可得方程组；（2）根据甲的运费与乙的运费，可得函数关系式；（3）根据一次函数的性质，分类讨论，可得结论.【解答】解：（1）设甲仓库存放原料xt，乙仓库存放原料yt，由题意，得解得答：甲仓库存放原料240t，乙仓库存放原料210t；（2）由题意知，从甲仓库运mt原料到工厂，则从乙仓库运（300－m）t原料到工厂，∴总运费W＝（120－a）m＋100（300－m）＝（20－a）m＋30000；（3）①当10≤a＜20时，20－a＞0，由一次函数的性质，得W随m的增大而增大；②当a＝20时，20－a＝0，随m的增大W不变；③当20