2022年中考数学一轮精讲精练第22课时《解直角三角形》 (含详解)

第22课时　解直角三角形　解直角三角形的应用1．如图，在距离铁轨200m的B处，观察由开往的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10s后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是______m/s.(　A　)A．20(＋1)B．20(－1)C．200D．3002．有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10nmile至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是______nmile.(　D　)A．10B．10－10C．10D．10－10核心考点解读　锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b正弦sinA＝＝____余弦cosA＝＝____正切tanA＝＝____　特殊角的三角函数值　锐角α三角函数　　30°45°60°sinα____cosα____ tanα____1　解直角三角形1．解直角三角形常用的关系在Rt△ABC中，∠C＝90°三边关系两锐角关系边角关系sinA＝cosB＝cosA＝sinB＝tanA＝　解直角三角形的应用2．解直角三角形应用中的相关概念仰角、俯角由视线与水平线所夹的锐角中，当视线在水平线上方时叫做__仰角__；当视线在水平线下方时叫做__俯角__(如图①)坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和__水平宽度__l的比叫坡度(坡比)，记作i；坡面与水平线的夹角α叫坡角，有i＝tanα＝____(如图②)方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做__方向角__．点A位于点O的北偏东30°方向；点B位于点O的南偏东60°方向；点C位于点O的北偏西45°方向或西北方向(如图③)【方法点拨】解直角三角形的方法：(1)解直角三角形，当所求元素不在直角三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素；(2)解决实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为解直角三角形问题． 1.(孝感)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于(　A　)A.B.C.D.2．(大庆)2cos60°＝(　A　)A．1B.C.D.3．一个公共房门前的台阶高出地面1.2m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是(　B　)A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC＝1.2tan10°mD．AB＝m4．从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6m，则教学楼的高CD是(　A　)A．(6＋6)mB．(6＋3)mC．(6＋2)mD．12m,(第4题图)　　5．如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30nmile到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是(　B　)(第5题图)A．15nmileB．30nmileC．45nmileD．30nmile6．平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2AD，BD的中垂线分别交AB，CD于点E，F，垂足为O.(1)求证：OE＝OF；(2)若AD＝6，求tan∠ABD的值． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠FDO＝∠EBO.∵EF为BD的中垂线，∴EF⊥BD，DO＝BO.又∵∠DOF＝∠BOE，∴△DOF≌△BOE(ASA)，∴OE＝OF；(2)过点D作AB的垂线，垂足为G.在Rt△AGD中，∠A＝60°，设AG＝x，则AD＝2x，DG＝x.又∵AB＝2AD，∴AB＝4x，BG＝AB－AG＝3x.在Rt△DGB中，tan∠GBD＝＝＝.∴tan∠ABD的值为.典题精讲精练　锐角三角函数的定义及计算例1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为(　A　)A．3B.C.D.【解析】根据正切数的定义求出即可．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，∴∠A的正切值为＝＝3.　解直角三角形的应用例2　(贺州)如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B.游轮以20nmile/h的速度向正东方向航行2h到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？(结果精确到1nmile，参考数据：≈1.41，≈1.73)【解析】直接过点C作CM⊥AB求出AM，CM的长，再利用锐角三角函数关系得出BM的长即可得出答案．【解答】解：过点C作CM⊥AB，垂足为M. 在Rt△ACM中，∠MAC＝90°－45°＝45°，则∠MCA＝45°，∴AM＝MC.由勾股定理得AM2＋MC2＝AC2＝(20×2)2，∴AM＝CM＝40.∵∠ECB＝15°，∴∠BCF＝90°－15°＝75°，∴∠B＝∠BCF－∠MAC＝75°－45°＝30°.在Rt△BCM中，tanB＝tan30°＝，即＝，∴BM＝40，∴AB＝AM＋BM＝40＋40≈40＋40×1.73≈109(nmile)，答：A处与灯塔B相距109nmile.【点评】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB＝＝(　A　)A.B.C.D.2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AB＝__10__．3．(梧州)随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30°，测得瀑布底端B点的俯角是10°，AB与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得CG＝27m，GF＝17.6m(注：C，G，F三点在同一直线上，CF⊥AB于点F)．斜坡CD＝20m，坡角∠ECD＝40°.求瀑布AB的高度．(参考数据：≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18)解：如图，过点D作DM⊥CE于点M，作DN⊥AB于点N，则四边形DNFM是矩形．在Rt△CMD中，CD＝20m，∠DCM＝40°，∠CMD＝90°，∴CM＝CD·cos40°≈15.4m，DM＝CD·sin40°≈12.8m， ∴DN＝MF＝CM＋CG＋GF≈60m.在Rt△BDN中，∠BDN＝10°，∠BND＝90°，∴BN＝DN·tan10°≈10.8m.在Rt△ADN中，∠ADN＝30°，∠AND＝90°，∴AN＝DN·tan30°≈34.6m，∴AB＝AN＋BN≈45.4m.答：瀑布AB的高度约为45.4m.