2022年中考数学一轮精讲精练第17课时《等腰三角形与直角三角形》 (含详解)

第17课时　等腰三角形与直角三角形　等腰三角形与直角三角形的性质如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝（　A　）A.6　　　　　　　B.6　　　　　　　C.6　　　　　　　D.12核心考点解读　等腰三角形及其性质与判定1.等腰三角形定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，第三边叫做底边性质（1）等腰三角形两腰相等（如AB＝AC）；（2）等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”，如∠B＝∠C）；（3）等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边（“三线合一”）；（4）等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；（5）面积：S△ABC＝BC·AD判定有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“　等角对等边　”）2.等边三角形定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形 性质（1）等边三角形三边相等（如AB＝BC＝AC）；（2）等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°（如∠A＝∠B＝∠C＝60°）；（3）等边三角形的内、外心重合；（4）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；（5）面积：S△ABC＝BC·AD＝AB2判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形　直角三角形及其性质与判定3.直角三角形定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形性质（1）直角三角形的两锐角　互余　；（2）直角三角形斜边上的　中线　等于斜边的一半（如CD＝AB）；（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于　30°　，那么它所对的直角边等于斜边的一半（如AC＝AB）；（4）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方（如a2＋b2＝c2）；（5）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°（6）面积：S△ABC＝ab＝ch（h为斜边c上的高）判定（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形（3）一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；（4）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.4.等腰直角三角形定义顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形性质等腰直角三角形的顶角是直角，两底角都为45° 判定（1）用定义判定；（2）有两个角为45°的三角形　角平分线和线段的垂直平分线5.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.如图，若∠1＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.6.线段的垂直平分线（1）性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.如图，若OP垂直平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.1.（贺州）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　C　）A.12B.16C.20D.16或202.（适应性演练）已知一个等腰三角形的顶角是60°，则这个三角形的底角大小是（　B　）A.120°B.60°C.40°D.30°3.（）如图，图中直角三角形共有（　C　）A.1个B.2个C.3个D.4个,（第3题图）)　　　　,（第4题图）)4.（黄冈）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（　B　）A.50°B.70°C.75°D.80°5.（）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（　A　）A.30，40，50B.7，12，13C.5，9，12D.3，4，66.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线.已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（　C　）A.5B.6C.8D.10 ,（第6题图）)　　　　,（第7题图）)7.（梧州）如图，已知BG为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是（　D　）A.2B.3C.4D.68.（福建）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D是AB的中点，则CD＝　3　Ｗ.9.（徐州）边长为a的正三角形的面积等于　a2　Ｗ.典题精讲精练　等腰三角形的性质与判定及线段的垂直平分线例1　（）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是　3　Ｗ.【解析】首先根据已知条件分别计算图中每一个三角形的每个内角的度数，然后根据等腰三角形的判定“等角对等边”解答，做题时要注意：从最明显的找起，由易到难，不重不漏.∵AB＝AC，∠A＝36°，∴△ABC是等腰三角形，∠ABC＝∠ACB＝＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°.在△ABD中，∠A＝∠ABD＝36°，∴AD＝BD，△ABD是等腰三角形.在△BDC中，∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，△BDC是等腰三角形.故共有3个等腰三角形.　直角三角形的性质及勾股定理 例2　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（　C　）A.2B.3C.4D.2【解析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得CE＝AE，又由AD＝2可得DE的长，在Rt△CDE中，运用勾股定理可得直角边CD的长.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，∴CE＝AE＝5.又∵AD＝2，∴DE＝AE－AD＝5－2＝3.∵CD为AB边上的高，∴∠CDE＝90°，∴△CDE为直角三角形，∴CD＝＝＝4.　角平分线的性质例3　如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为（　D　）A.6　　　　B.5　　　　C.4　　　　D.3【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据角平分线的定义、三角形内角和求出∠C的度数，根据角平分线性质及直角三角形的性质解答.∵ED是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠C＝∠DBC.∵BD是△ABC的角平分线，∠BAC＝90°，DE⊥BC，∴∠ABD＝∠DBC，DE＝AD＝3，∴∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°，∴CD＝2DE＝6，∴CE＝＝3.,1.（来宾）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE分别交AB，BC于点D，E，则∠BAE＝（　D　）A.80°B.60°C.50°D.40°,（第1题图）)　　,（第2题图）)2.（适应性演练）如图，△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，已知AC＝7cm，BC＝5cm，则△BCE的周长是（　B　）A.10cmB.12cmC.13cmD.14cm 3.（湘潭）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝　　30°　Ｗ.4.（贺州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为（　D　）　A.3B.3C.6D.65.（云南）在△ABC中，AB＝，AC＝5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为　1或9　Ｗ.6.（黔南）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD＝3，则BD的长为　6　Ｗ.7.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（　B　）A.PC＝PDB.∠CPD＝∠DOPC.∠CPO＝∠DPOD.OC＝OD8.（来宾）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，已知AC＝3，AD＝2，则点D到AB边的距离为　1　Ｗ.