2022年中考数学一轮精讲精练第23课时《圆的有关概念及性质》 (含详解)

第七章　圆第23课时　圆的有关概念及性质　圆周角定理1．如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,∠AOC＝50°,则∠ABC＝__25°__．　垂径定理2．(百色)如图,⊙O的直径AB过弦CD的中点E,若∠C＝25°,则∠D＝__65°__．核心考点解读　圆的有关概念圆的定义定义1：在一个平面内,一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周,另一个端点所形成的封闭曲线叫做圆定义2：圆是平面内到定点(圆心)的距离等于__定长__(半径)的所有点组成的图形弦连接圆上任意两点的__线段__叫做弦续表直径经过__圆心__的弦叫做直径,直径是圆内最__长__的弦弧圆上任意两点间的部分叫做弧,弧有__优弧、半圆、劣弧__之分；在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做__等弧__弓形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形等圆能够重合的两个圆叫做等圆,等圆的半径相等同心圆圆心相同的圆叫做同心圆　圆的性质圆的圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条经过__圆心__的直线对称性圆是中心对称图形,对称中心为__圆心__垂径定理定理垂直于弦的直径__平分__这条弦,并且平分这条弦所对的两条__弧__ 推论平分弦(不是直径)的直径__垂直于__弦,并且__平分__弦所对的两条弧圆心角、弧、弦、弦心距间的关系在同圆或等圆中,相等的圆心角所对弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距相等在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中有一组量__相等__,那么它们所对应的其余各组量也分别相等．简记：圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等【方法点拨】在解决与弦有关的问题时,作垂直于弦的直径可以构造直角三角形,从而转化成解直角三角形的问题．　圆周角圆周角的定义顶点在圆上,并且__两边__都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角圆周角定理定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的__一半__推论1在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角__相等__,相等的圆周角所对的弧也相等推论2半圆或直径所对的圆周角是__直角__；90°的圆周角所对的弦是__直径__推论3圆内接四边形的对角__互补__,且任何一个外角都等于它的内对角1．如图,A,B,C,D是⊙O上的四个点,∠A＝60°,∠B＝24°,则∠C的度数为(　D　)A．84°B．60°C．36°D．24°(第1题图)　　　(第2题图)2．(菏泽)如图,在⊙O中,OC⊥AB,∠ADC＝32°,则∠OBA的度数是(　D　)A．64°B．58°C．32°D．26°3．(济宁)如图,点B,C,D在⊙O上,若∠BCD＝130°,则∠BOD的度数是(　D　)A．50°B．60°C．80°D．100° (第3题图)　　　(第4题图)4．(贺州)如图,AB是⊙O的直径,且经过弦CD的中点H,已知sin∠CDB＝,BD＝5,则AH的长为(　B　)A.B.C.D.5．(贵港)如图,A,B,C,D是⊙O上的四个点,B是的中点,M是半径OD上任意一点．若∠BDC＝40°,则∠AMB的度数不可能是(　D　)A．45°B．60°C．75°D．85°(第5题图)　　　(第6题图)6．(南通)如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上的一点,若BC＝3,AB＝5,OD⊥BC于点D,则OD的长为__2__．7．(梧州)如图,已知在⊙O中,半径OA＝,弦AB＝2,∠BAD＝18°,OD与AB交于点C,则∠ACO＝__81__度．(第7题图)　　　(第8题图)8．小华为了求出一个圆盘的半径,他用所学的知识,将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切,另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm),请你帮小华算出圆盘的半径是__10__cm.典题精讲精练　圆心角、弧、弦、弦心距间的关系例1　如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD,则下列结论正确的是(　B　) A．AB＝ADB．BC＝CDC.＝D．∠BCA＝∠DCA【解析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．A．∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定,∴AB与AD不一定相等,故结论错误；B．∵AC平分∠BAD,∴∠BAC＝∠DAC,∴BC＝CD,故结论正确；C．∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定,∴与不一定相等,故结论错误；D．∠BCA与∠DCA的大小关系不确定,故结论错误．　圆周角定理、垂径定理及相关结论例2　(贺州)如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,AB＝10,＝＝,点E是点D关于AB的对称点,M是AB上的一动点．下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM的最小值是10.上述结论中正确的个数是(　C　)A．1B．2C．3D．4【解析】根据＝＝和点E是点D关于AB的对称点,求出∠DOB＝∠COD＝∠BOE＝60°,从而求出∠CED,即可判断①②正确；根据圆周角定理求出当M和A重合时∠MDE＝60°,即可判断③错误；找到点M的位置,根据圆周角定理的推论得出此时CE是直径,即可求出CE长,从而判断④正确．1．如图,AB是⊙O的直径,＝＝,∠COD＝34°,则∠AEO的度数是(　A　)A．51°B．56°C．68°D．78°(第1题图)　　　(第2题图) 2．如图,在⊙O中,若点C是的中点,∠A＝50°,则∠BOC＝(　A　)A．40°B．45°C．50°D．60°3．(河池)如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,∠CAB＝36°,则∠BCD的大小是(　B　)A．18°B．36°C.54°D．72°4．(温州)如图,D是△ABC的BC边上一点,连接AD,作△ABD的外接圆,将△ADC沿直线AD折叠,点C的对应点E落在⊙O上．(1)求证：AE＝AB；(2)若∠CAB＝90°,cos∠ADB＝,BE＝2,求BC的长．(1)证明：由折叠可知,△ADE≌△ADC,∴∠AED＝∠ACD,AE＝AC.∵∠ABD＝∠AED,∴∠ABD＝∠ACD,∴AB＝AC,∴AE＝AB；(2)解：过A作AH⊥BE于点H.∵AB＝AE,BE＝2,∴BH＝EH＝1.∵∠ABE＝∠AEB＝∠ADB,cos∠ADB＝,∴cos∠ABE＝cos∠ADB＝,∴＝,∴AC＝AB＝3.又∵∠CAB＝90°,∴BC＝3.