2022年中考数学一轮精讲精练第20课时《矩形、菱形、正方形》 (含详解)

第20课时　矩形、菱形、正方形　特殊平行四边形的性质1.如图，菱形ABCD的周长为12cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD的长是　3　cm.　特殊平行四边形的判定2.如图，已知点E，F在四边形ABCD的对角线延长线上，AE＝CF，DE∥BF，∠1＝∠2.（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若AD⊥CD，四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由.（1）证明：∵DE∥BF，∴∠E＝∠F.在△AED和△CFB中，∵∴△AED≌△CFB（AAS）；（2）解：四边形ABCD是矩形.理由：∵△AED≌△CFB，∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，∴∠DAC＝∠BCA，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AD⊥CD，∴四边形ABCD是矩形.核心考点解读　矩形及其性质与判定定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形性质（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有　2　条对称轴 判定（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线相等的平行四边形是矩形面积S＝　ab　（a，b表示矩形的长和宽）　菱形及其性质与判定定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的对角线互相垂直平分且每一条对角线都平分一组对角；（3）菱形既是中心对称图形，又是　轴　对称图形，有　2　条对称轴判定（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边都相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形面积S＝　　（l1，l2表示菱形两条对角线的长）　正方形及其性质与判定定义有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形性质（1）正方形的对边平行，四条边都相等；（2）正方形的四个角都是直角；（3）对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角判定（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形；（4）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形面积S＝　a2　（a表示正方形的边长）；S＝　　（l表示正方形的对角线长）　平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 1.（株洲）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为　2.5　.2.（淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　A　）A.20B.24C.40D.48,（第2题图）　　　,（第3题图）3.如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（　D　）A.若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C.若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D.若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形4.（武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是　30°或150°　Ｗ.5.如图，点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为　5　Ｗ.6.（）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2.（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC＝2，求BD的长.解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∴菱形ABCD的周长为2×4＝8；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，AB＝2，∴AC⊥BD，AO＝1，∴BO＝＝＝，∴BD＝2BO＝2.典题精讲精练 　矩形的性质与判定例1　已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（　C　）A.∠BAC＝∠DCAB.∠BAC＝∠DACC.∠BAC＝∠ABDD.∠BAC＝∠ADB【解析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案.A.不能判断四边形ABCD是矩形；B.能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；C.能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D.不能判断四边形ABCD是矩形.　菱形的性质与判定例2　（北部湾）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积.【解析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明AB＝AD即可解决问题；（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线BD的长即可解决问题.【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D.∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.又∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD，∴AB＝AD，∴▱ABCD是菱形；（2）连接BD交AC于O.∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×6＝3.∵AB＝5，∴OB＝＝＝4，∴BD＝2OB＝8，∴S▱ABCD＝×AC×BD＝24.　正方形的性质与判定例3　已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC. （1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形.【解析】（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE＝∠CDE，又由AD∥BC可推出BC＝CD，易得AD＝BC，利用平行四边形的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD＝CD可得四边形ABCD是菱形；（2）由BE＝BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE＝∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠ABE＝45°，可得∠ABC＝90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形.【解答】证明：（1）在△ADE与△CDE中，∵∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE＝∠CDE.∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD.∵AD＝CD，∴BC＝AD，∴四边形ABCD为平行四边形.∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC.∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝180×＝45°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形.,1.（）如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中矩形的个数共有（　C　）A.5个B.8个C.9个D.11个2.（北部湾）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF. （1）求证：AE＝CF；（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°.∵BE＝DF，∴OE＝OF.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF；（2）解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB.∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝6，∴AC＝2OA＝12.在Rt△ABC中，BC＝＝6，∴矩形ABCD的面积为AB·BC＝6×6＝36.3.（广州）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（－2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　（－5，4）　Ｗ.,（第3题图）　　　,（第4题图）4.（宿迁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是（　A　）A.B.2C.2D.45.（贺州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O，D分别是边AC，AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE.（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC＝，求BC的长.（1）证明：∵点O是AC的中点， ∴OA＝OC.∵CE∥AB，∴∠DAO＝∠ECO.又∵∠AOD＝∠COE，∴△AOD≌△COE（ASA），∴AD＝CE，∴四边形AECD是平行四边形.又∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD＝AD＝AB，∴四边形AECD是菱形；（2）由（1）知，四边形AECD是菱形，∴AC⊥ED.在Rt△AOD中，tan∠DAO＝＝tan∠BAC＝，可设OD＝3x，OA＝4x，则ED＝2OD＝6x，AC＝2OA＝8x.由题意可得·6x·8x＝24，∴x＝1，∴OD＝3.∵O，D分别是AC，AB的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴BC＝2OD＝6.6.（）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD边上的点，BE，AF交于点O，且AE＝DF.（1）求证：△ABE≌△DAF；（2）若BO＝4，OE＝2，求正方形ABCD的面积.解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°.又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF（SAS）；（2）∵△ABE≌△DAF，∴∠FAD＝∠ABE.∵∠FAD＋∠BAO＝90°，∴∠ABO＋∠BAO＝90°，即∠AOB＝∠BAE＝90°.∵∠ABO＝∠EBA，∴△ABO∽△EBA，∴AB∶BE＝BO∶AB，即AB∶6＝4∶AB，∴AB2＝24.故正方形ABCD面积是24.