2022年中考数学一轮精讲精练第7课时《一元二次方程》 (含详解)

第7课时　一元二次方程　一元二次方程的解1.已知x＝2是一元二次方程x2－2mx＋4＝0的一个解，则m的值为（　A　）A.2B.0C.0或2D.0或－2　一元二次方程的应用2.在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA，OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2.（1）求这地面矩形的长；（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块.若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？解：（1）设这地面矩形的长是xm，依题意，得x（20－x）＝96，解得x1＝12，x2＝8（舍去）.答：这地面矩形的长是12m；（2）规格为0.80×0.80所需的费用：96÷（0.80×0.80）×55＝8250（元）.规格为1.00×1.00所需的费用：96÷（1.00×1.00）×80＝7680（元）.因为8250>7680，所以采用规格为1.00×1.00的地板砖所需的费用较少.核心考点解读　一元二次方程的概念1.只含有　1　个未知数，并且未知数的最高次数是　2　的　整式　方程，叫做一元二次方程，其一般形式（标准形式）是　ax2＋bx＋c＝0（a≠0）　.【温馨提示】判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数.　一元二次方程的解法直接开平方法这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如（x±m）2＝n（n≥0）的方程配方法配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的　完全平方　式，右边是一个非负常数续表公式法求根公式为　x＝（b2－4ac≥0）　，适用于所有的一元二次方程 因式分解法因式分解法的步骤：（1）将方程右边化为　0　；（2）将方程左边分解为一次因式的乘积；（3）令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解【温馨提示】关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解法：（1）当b＝0，c≠0时，x2＝－，考虑用直接开平方法求解；（2）当c＝0，b≠0时，考虑用因式分解法求解；（3）当a＝1，b为偶数时，用配方法求解更简便.　一元二次方程根的判别式2.根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可由　b2－4ac　来判定，我们将　b2－4ac　称为根的判别式，通常用“Δ”表示.3.判别式与根的关系（1）b2－4ac>0⇔方程有　两个不相等　的实数根；（2）b2－4ac0.　一元二次方程的应用4.列一元二次方程解应用题的步骤（1）审题；（2）设未知数；（3）列方程；（4）解方程；（5）检验；（6）作答.5.一元二次方程应用问题常见的等量关系（1）增长率中的等量关系：增长率＝增量÷原有量.[来源:Z.Com]（2）利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间.（3）利润中的等量关系：毛利润＝售价－进价，纯利润＝售价－进价－其他费用，利润率＝×100%.（4）面积类：一类是求小路宽度和围矩形两类面积应用题，是常考题，另一类边框类应用题.（5）传染病类应用题：有两种类型，一种是传染类，另一种是细胞分裂类；两种类型应用题列方程是不同的，分裂类分裂后原细胞不存在.【温馨提示】在一元二次方程应用题中值的取舍要结合实际情况取值，否则会多值或少值.1.（上海）下列对一元二次方程x2＋x－3＝0根的情况的判断，正确的是（　A　）A.有两个不相等实数根B.有两个相等实数根C.有且只有一个实数根D.没有实数根2.（）若关于x的一元二次方程（k－1）x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　B　）A.k＜5B.k＜5，且k≠1C.k≤5，且k≠1D.k＞53.（安徽）若关于x的一元二次方程x（x＋1）＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　A　）A.－1B.1 C.－2或2D.－3或14.（湘西）若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个解为x＝－1，则另一个解为（　C　）A.1B.－3C.3D.45.（北部湾）某种植基地2016年蔬菜产量为80t，预计2018年蔬菜产量达到100t，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　A　）A.80（1＋x）2＝100B.100（1－x）2＝80C.80（1＋2x）＝100D.80（1＋x2）＝1006.（贵港）已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是（　B　）A.3B.1C.－1D.－37.（来宾）已知x1，x2是方程2x2＋x－2＝0的两个实数根，则x＋x的值是（　C　）A.－B.1C.D.98.（）一元二次方程x2－9＝0的解是　x1＝3，x2＝－3　Ｗ.9.（苏州）若关于x的一元二次方程x2＋mx＋2n＝0有一个根是2，则m＋n＝　－2　Ｗ.10.经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是　50（1－x）2＝32　Ｗ.11.（）已知关于x的一元二次方程：x2－2x－k－2＝0有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）给k取一个负整数值，解这个方程.解：（1）根据题意，得Δ＝（－2）2－4（－k－2）＞0，解得k＞－3；（2）取k＝－2，则方程变形为x2－2x＝0.解得x1＝0，x2＝2.（注：k还可以取－1）典题精讲精练　一元二次方程及其解法例1　解方程：x2－2x＝4.【解析】在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后直接开平方即可求解.[来源:Z.Com]【解答】解：配方，得x2－2x＋1＝4＋1，∴（x－1）2＝5，∴x＝1±，∴x1＝1＋，x2＝1－.【点评】在解一元二次方程时要注意选择适宜的解题方法.　一元二次方程根的判别式例2　下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　B　）A.x2＋6x＋9＝0B.x2＝xC.x2＋3＝2xD.（x－1）2＋1＝0【解析】根据一元二次方程根的判别式判断即可.A.x2＋6x＋9＝0，Δ＝62－4×9＝36－36＝0，方程有两个相等实数根；B.x2＝x，x2－x＝0，Δ＝（－1）2－4×1×0＝1＞0，方程有两个不相等实数根； C.x2＋3＝2x，x2－2x＋3＝0，Δ＝（－2）2－4×1×3＝－8＜0，方程无实数根；D.（x－1）2＋1＝0，（x－1）2＝－1，则方程无实数根.【点评】本题可以直接求解各选项中的方程，由此判断实数根的情况.　一元二次方程的应用例3　某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（　C　）A.4B.5C.6D.7【解析】根据每两班之间都比赛一场，总共比赛15场，设未知数列出一元二次方程求解即可.设共有x个班级参赛，根据题意，得＝15，∴x－1＝5或x－1＝－6，即x＝6或x＝－5（不合题意，舍去）.∴共有6个班级参赛.例4　（改编）为响应区“美丽广西清洁乡村”的号召，某校开展“美丽广西清洁校园”的活动，该校经过精心设计，计算出需要绿化的面积为498m2，在绿化工作中有一块面积为170m2的矩形场地，矩形的长比宽的2倍少3m，请问这块矩形场地的长和宽各是多少米？【解析】设出这块矩形场地的长和宽，根据“矩形的面积为170m2”列出一元二次方程求解即可.【解答】解：设矩形宽为ym，则长为（2y－3）m，根据题意，得y（2y－3）＝170，解得y1＝10，y2＝－8.5（不合题意，舍去）.2y－3＝17.答：这块矩形场地的长为17m，宽为10m.【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是从题目中找到相关的等量关系并列出方程求解，注意检验方程的解是否正确且是否符合题意.1.（钦州）用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方后可得（　A　）A.（x＋5）2＝16B.（x＋5）2＝1C.（x＋10）2＝91D.（x＋10）2＝1092.（淮安）一元二次方程x2－x＝0的根是　x1＝0，x2＝1　Ｗ.3.（模拟一）已知关于x的一元二次方程2x2－3kx＋4＝0的一个根是1，则k＝　2　Ｗ.4.（菏泽）关于x的一元二次方程（k＋1）x2－2x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　D　）A.k≥0B.k≤0C.k＜0且k≠－1D.k≤0且k≠－15.（）已知关于x的一元二次方程2x2－kx＋3＝0有两个相等的实根，则k的值为（　A　）A.±2B.±C.2或3D.或6.（）已知关于x的一元二次方程：x2－（t－1）x＋t－2＝0.（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；（2）当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由. （1）证明：在方程x2－（t－1）x＋t－2＝0中，Δ＝[－（t－1）]2－4×1×（t－2）＝t2－6t＋9＝（t－3）2≥0，∴对于任意实数t，方程都有实数根；（2）解：设方程的两根分别为m，n.∵方程的两个根互为相反数，∴m＋n＝t－1＝0，解得t＝1，∴当t＝1时，方程的两个根互为相反数.7.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　A　）A.（32－2x）（20－x）＝570B.32x＋2×20x＝32×20－570C.（32－x）（20－x）＝32×20－570D.32x＋2×20x－2x2＝5708.（）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元.（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影仪需2000元，则最多可购买电脑多少台？解：（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据题意，得5000（1＋x）2＝7200，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（舍去）.答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%；（2）2018年投入基础教育经费为7200×（1＋20%）＝8640（万元）.设购买电脑m台，则购买实物投影仪（1500－m）台，根据题意，得3500m＋2000（1500－m）≤86400000×5%，解得m≤880.答：最多可购买电脑880台.