第8课时 分式方程 分式方程的应用1.A，B两地相距160km，甲车和乙车的平均速度之比为4∶5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30min，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4xkm/h，则所列方程是（ B ）A.－＝30B.－＝C.－＝D.＋＝302.（改编）为响应区“美丽广西清洁乡村”的号召，某校开展“美丽广西清洁校园”的活动，该校经过精心设计，计算出需要绿化的面积为498m2，绿化150m2后，为了更快的完成该项绿化工作，将每天的工作量提高为原来的1.2倍.结果一共用20天完成了该项绿化工作.该项绿化工作原计划每天完成多少平方米？解：设该项绿化工作原计划每天完成xm2，则提高工作量后每天完成1.2xm2，根据题意，得＋＝20，解得x＝22.经检验，x＝22是原方程的根.答：该项绿化工作原计划每天完成22m2.核心考点解读 分式方程的概念1.分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程.【温馨提示】“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判断一个方程是否为分式方程的依据. 分式方程的解法2.解分式方程的一般步骤（1）去分母：方程两边都乘以 最简公分母 ，把它转化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3） 检验 Ｗ.（在分式方程求解过程中有可能产生增根，所以解分式方程必须有这一步）【温馨提示】找最简公分母的方法：（1）取各分式的分母中各项系数的最小公倍数；（2）各分式的分母中所有字母或因式都要取到；（3）利用字母（或因式）的幂取指数最大的；（4）所得的系数的最小公倍数与各个字母（或因式）的最高次幂的积即为最简公分母.3.检验方法（1）利用方程的解的概念进行检验；（2）将解得的整式方程的根代入 最简公分母 ，看计算结果 是否为0 ，若不为0就是原方程的根；若为0，就为增根，必须舍去.（3）增根：当分母的值为0时，分式方程 无解 ，这样的根叫做分式方程的 增根 .【方法点拨】增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一个概念.分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根. 分式方程的应用4.列分式方程解应用题的六个步骤（1）审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系；（2）设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；（3）列：根据等量关系，列出方程；（4）解：求出所列方程的解；（5）检：“双重检验”；（①检验是否是分式方程的解；②检验是否符合题意）（6）答：写出答案.5.常见关系分式方程的应用题主要涉及工作量问题、行程问题等，每个问题中涉及三个量的关系.例如，工作时间＝ ，时间＝ .【方法点拨】列分式方程解应用题时，要验根后作答，不但要检验是否为方程的增根，还要检验是否符合题意，即“双重验根”.1.将分式方程＝去分母后得到的整式方程，正确的是（ A ）A.x－2＝2xB.x2－2x＝2xC.x－2＝xD.x＝2x－42.分式方程＝的解是（ C ）A.x＝－1B.x＝1C.x＝2D.无解3.若关于x的分式方程＋5＝有增根，则m的值为（ C ）A.1B.3C.4D.54.（新疆）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支.则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是 4 元.5.（）解方程＝.解：去分母，得2x－4＝x，解得x＝4.经检验，x＝4是原分式方程的解.6.班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90km，队伍8：00从学校出发.苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15min到达基地.问：（1）大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？解：（1）设大巴的平均速度是xkm/h，则小车的平均速度是1.5xkm/h，根据题意，得－＝，解得x＝40.经检验，x＝40是原分式方程的解.此时1.5x＝60.答：大巴的平均速度是40km/h，小车的平均速度是60km/h；（2）设苏老师追上大巴的地点到学校的路程为ykm，根据题意，得－＝，解得y＝60.此时90－y＝90－60＝30.答：苏老师追上大巴的地点到基地的路程为30km.典题精讲精练 分式方程及其解法例1 （北部湾）解分式方程：－1＝.【解析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.【解答】解：方程两边同乘以3（x－1），得3x－3（x－1）＝2x，解得x＝1.5.检验：当x＝1.5时，3（x－1）＝1.5≠0，所以原方程的解为x＝1.5. 分式方程的应用例2 （）山地自行车越来越受中学生的喜爱.一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元.（1）求二月份每辆车售价是多少元；（2）为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元.【解析】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x＋100）元，根据“数量＝总价÷单价”可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结果；（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据“利润＝售价－进价”可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结果.【解答】解：（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x＋100）元，根据题意，得＝，解得x＝900.经检验，x＝900是原分式方程的解.答：二月份每辆车售价是900元；（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据题意，得900×（1－10%）－y＝35%y，解得y＝600.答：每辆山地自行车的进价是600元.
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程；注意解分式方程必须要有“验根”这一过程.1.（模拟一）方程＝的解为 x＝3 Ｗ.2.（贺州）解分式方程：＋1＝.解：方程两边同乘（x＋1）（x－1），得4＋x2－1＝（x－1）2，解得x＝－1.检验：当x＝－1时，（x＋1）（x－1）＝0.所以，原分式方程无解.3.（昆明）甲、乙两船从相距300km的A，B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ A ）A.＝B.＝C.＝D.＝4.（桂林）某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程；当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程.（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？解：（1）设二号施工队单独施工需要x天，根据题意，得×5＋×（40－5－14）＝1，解得x＝60.经检验，x＝60是原分式方程的解.答：由二号施工队单独施工，完成整个工程需要60天；（2）由题可得1÷＝24（天）.答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要24天.
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