2022年中考数学总复习第25讲《几何作图》讲解(含答案)

第25讲　几何作图尺规作图考试内容考试要求尺规作图作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺．b基本作图(尺规作图)作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线.利用基本作图作三角形　　已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形利用基本作图作圆过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形作图题的一般步骤(1)分析、画草图；(2)写已知、求作；(3)作图；(4)结论；(5)证明(常不作要求)．注意点在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法．考试内容考试要求基本思想分类讨论：作图问题不是在任何已知的条件下都能作出图形，要分清问题有一个解、多个解或者没有解．c基本方法根据已知条件作几何图形时，可采用逆向思维，假设已作出图形，再寻找图形的性质，然后作图或设计方案． 1．(·衢州)下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．①B．②C．③D．④2．(·衢州)数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条直角边BC＝a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是(　　)A．勾股定理B．直径所对的圆周角是直角C．勾股定理的逆定理D．90°的圆周角所对的弦是直径3．(·丽水)用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是(　　)【问题】如图，已知线段a.　 (1)只用直尺(没有刻度的尺)和圆规，求作一个直角三角形ABC，以AB和BC分别为两条直角边，使AB＝a，BC＝a(要求保留作图痕迹，不必写出作法)；(2)若在(1)作出的Rt△ABC中，AB＝4cm，求AC边上的高；(3)通过(1)(2)的解答，请你联想几何作图有哪些知识？　　　　　　　　【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理基本作图，其中求作三角形包括：①已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；②已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；③已知三角形的三边，求作三角形．求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形．作图题的一般步骤：①分析、画草图；②写已知、求作；③作图；④结论；⑤证明(常不作要求)．注意：作图中一般要保留作图痕迹．类型一　利用尺规作直线、角和三角形　(·孝感)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E；(2)在(1)作出的图形中，若CB＝4，CA＝6，则DE＝　　　　　　　　.　　　　【解后感悟】解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．要注意几点：(1)熟练掌握几种基本图形的作法． (2)分析尺规基本作图问题的解决过程，写好作图的主要画法，并完成作图．(3)尺规作图的关键在于：①先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么．②读清题意后，再运用几种基本作图方法，可以组合应用解决问题．1．(1)(·上海模拟)如图，用尺规作图：“过点C作CN∥OA”，其作图依据是(　　)A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角相等，两直线平行D．同旁内角互补，两直线平行(2)(·嘉兴)数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q.”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是(　)2．(·台湾)如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝58°.甲、乙两人想在△ABC外部取一点D，使得△ABC与△DCB全等，其作法如下：(甲)1.作∠A的角平分线L. 2．以B为圆心，BC长为半径画弧，交L于D点，则D即为所求．(乙)1.过B作平行AC的直线L.2．过C作平行AB的直线M，交L于D点，则D即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？(　　)A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确类型二　利用尺规作点　如图，已知弧AB.求作：(1)确定弧AB所在圆的圆心O；(2)过点A且与⊙O相切的直线．(要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)【解后感悟】本题是基本作图，以及线段垂直平分线的作法和性质等知识运用，认真分析揣摩所给的信息，结合题目要求思考是解题的关键．3．(·深圳)如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是(　　　　　　　　)4．A，B是平面上的两个定点，在平面上找一点C，使△ABC构成等腰直角三角形，且C为直角顶点．请问：这样的点有几个？在图中作出符合条件的点(要求尺规作图，保留痕迹，不写作法)．5．作图题(只保留作图痕迹，不写作法) (1)如图1，作已知三角形的外接圆；(2)如图2，作已知三角形的内切圆；(3)如图3，作已知圆的内接六边形．　　　类型三　利用几何作图设计图形　(·宁波)下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：(1)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；(2)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形；(3)选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形．(请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形)【解后感悟】掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键．　(·江西)如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．(1)在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；(2)在图2中画出线段AB的垂直平分线．【解后感悟】本题是作图－－应用设计，解题的关键是灵活应用正方形、长方形、等腰直角三角形的性质解决问题． 6．如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①，②，③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格顶点处)．请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①，②，③的三个三角形分别对应全等．(1)图甲中的格点正方形ABCD；(2)图乙中的平行四边形ABCD.注：分割线画成实线．类型四　利用几何作图的计算和判断　如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD＝∠A.(1)作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明)．【解后感悟】这类问题往往是根据几种基本作图法作出图形，再利用作好的图形解决问题，需要同学们能准确地作出图形，并能明确作图过程中所用的知识，这样才有利于我们解决以下的证明或计算问题．7．(·邗江模拟)如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：乙：分别作 ∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．对于甲、乙两人的作法，可判断(　　　　　　　　)A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误8．(·南宁模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，AE∥BC.(1)作∠ADC的平分线DF，与AE交于点F；(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)的条件下，若AD＝2，求DF的长．类型五　利用几何作图解决实际问题　两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)【解后感悟】本题借助实际场景，利用几何基本作图、线段垂直平分线和角平分线的性质运用．题中符合条件的点C有2个，注意避免漏解．9．(·温州)在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A(2，3)，B(4，4)， 请在所给网格区域(含边界)上按要求画整点三角形．(1)在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；(2)在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．【探索研究题】如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．(1)在图1中，画出△ABC的三条高的交点；(2)在图2中，画出△ABC中AB边上的高．【方法与对策】本题属创新作图题，是中考热点题型之一，也是中考命题的方向．考查同学们对圆的性质的理解、读图能力，题(1)是要作点，题(2)是要作高，都是要解决直角问题，用到的知识就是“直径所对的圆周角为直角”．【忽视求作要求】已知三角形的两边和其中一边上的中线长，利用尺规，求作这个三角形．已知：线段a，b为两边，m为边b的中线，求作：△ABC，使BC＝a，AC＝b， 且AM＝MC，BM＝m.　　　　　　　　参考答案第25讲　几何作图【考题体验】1．C　2.B　3.D【知识引擎】 【解析】(1)画法略．如图1，△ABC是所求的三角形．(2)如图2，∵AB＝a＝4，∴BC＝a＝2，∴AC＝＝2，∴AC边上的高BD＝＝.(3)几何基本作图，作图的一般步骤，尺规作图和一般作图的区别．【例题精析】例1　(1)如图所示；　(2)∵DC是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD，∴∠ECD＝∠EDC，∴DE＝CE，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，设DE＝CE＝x，则AE＝6－x，∴＝，解得：x＝，即DE＝，故答案为：.　例2　(1)在上取点C，连结AC、BC，画AC、BC的中垂线，交于点O；　(2)连结OA，过点A画AT⊥OA.例3　(1)如图1所示；(2)如图2所示；(3)如图3所示．例4　(1)如图所示，∠ABC＝45°.(AB、AC是小长方形的对角线)．(2)线段AB的垂直平分线如图所示，点M是长方形AFBE的对角线的交点，点N是正方形ABDC的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线． 　例5　(1)如图所示：(2)DE∥AC.∵DE平分∠BDC，∴∠BDE＝∠BDC，∵∠ACD＝∠A，∠ACD＋∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠BDE，∴DE∥AC.例6　(1)作出线段AB的垂直平分线；(2)作出角的平分线(2条)；它们的交点即为所求作的点C(2个)．【变式拓展】1．(1)B　(2)A　2.D　3.D　4.因为等腰直角三角形的直角顶点到另外两点距离相等，且∠C＝90°，故利用线段中垂线的性质和圆中直径所对的圆周角为直角作图．如图，故符合题意的点有2个．5．略　6.(1)如图1所示　(2)如图2所示．7．C　8.(1)如图所示：(2)∵AB＝AC，D为BC边的中点，∴AD⊥BC即∠ADC＝90°，又∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝45°，又∵AE∥BC，∴∠DAF＝∠ADC＝90°，∴△ADF 为等腰直角三角形，又∵AD＝2，∴DF＝2.　　9.(1)设P(x，y)，由题意x＋y＝2，∴P(2，0)或(1，1)或(0，2)，其中(0，2)不合题意，舍去，△PAB如图所示．　(2)设P(x，y)，由题意x2＋42＝4(4＋y)，整数解为(2，1)或(0，0)等，△PAB如图所示．【热点题型】【分析与解】图1点C在圆外，要画三角形的高，就是要过点B作AC的垂线，过点A作BC的垂线，但题目限制了作图的工具(无刻度的直尺，只能作直线或连结线段)，说明必须用所给图形本身的性质来画图(这就是创新作图的魅力所在)，作高就是要构造90度角，显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为90度”．设AC与圆的交点为E，连结BE，就得到AC边上的高BE；同理设BC与圆的交点为D，连结AD，就得到BC边上的高AD，则BE与AD的交点就是△ABC的三条高的交点；题(2)是题(1)的拓展、升华，三角形的三条高相交于一点，受题(1)的启发，我们能够作出△ABC的三条高的交点P，再作射线PC与AB交于点D，则CD就是所求作的AB边上的高．在图1中，点P即为所求；在图2中，CD即为所求．【错误警示】①作线段BC＝a，MC＝b，BM＝m.②延长线段CM至A，使MA＝CM.③连结BA，则△ABC为所求作的三角形．