2022年中考数学总复习第19讲《特殊三角形(2)直角三角形》讲解(含答案)

第2课时　直角三角形直角三角形考试内容考试要求概念有一个角是　　　　　　　　的三角形叫做直角三角形．a性质如图，在△ABC中，∠C＝90°.1．边与边的关系(勾股定理)：a2＋b2＝　　　　　　　　；2．角与角的关系：∠A＋∠B＝　　　　　　　　；3．边与角的关系：①若∠A＝30°，则a＝c，b＝c；②若a＝c，则∠A＝30°；③若∠A＝45°，则a＝b＝c；④若a＝c，则∠A＝45°；4．斜边上的中线m＝c＝R(其中R为三角形外接圆的半径)．c判定1.有一个角是　　　　　　　　或两个锐角　　　　　　　　的三角形是直角三角形．2．如果三角形一边上的中线等于这条边的　　　　　　　　，那么这个三角形为直角三角形．3．勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的　　　　　　　　等于第三边的　　　　　　　　，那么这个三角形是直角三角形．拓展1.SRt△ABC＝ch＝ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h 为斜边上的高；2．Rt△ABC内切圆半径r＝；外接圆半径R＝，即等于斜边的一半．考试内容考试要求基本方法面积法：用面积法证题是常用的方法之一，使用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到要证明的结论．如ch＝ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；c1．(·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(　　)A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米2．(·温州)四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为(　　)A．12SB．10SC．9SD．8S第2题图3．(·柳州模拟)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行(　　) 第3题图A．8米B．10米C．12米D．14米3．(·大连模拟)如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为(　　)A．10B．11C．12D．135．(·安顺模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝7，则sinB＝　　　　　　　　.【问题】如图，点D是Rt△ABC斜边的中点．(1)你能从图中得到哪些信息？(2)若∠A＝40°，则∠DBC＝　　　　　　　　°；(3)若BD＝5，AB＝8，则BC＝　　　　　　　　.【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理直角三角形有关知识． 类型一　直角三角形的性质与判定　(1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，①若∠A＝46°，则∠B的度数为________；②若∠A＝3∠B，则∠B＝________；③若∠B＝30°，D为线段AB的中点，CD＝6，则∠ACD＝________；AB＝________；BC＝________．(2)如图，已知∠AOD＝30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为________．【解后感悟】根据直角三角形的性质、以及斜边上中线性质、含30°角的直角三角形性质是解此题的关键，解题时注意分类讨论的运用．1．(1)(·黑龙江模拟)已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有(　　)A．②B．①②C．①③D．②③(2)(·牡丹江模拟)如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于(　　)A．25°B．30°C．45°D．60°2．(1)(·丽水模拟)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E为垂足，连结CD，若BD＝1，则AC的长是____________________． 第(1)题图第(2)题图第(3)题图(2)(·衢州模拟)如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于　　　　　　　　.(3)(·福州)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连结BM，则BM的长是　　　　　　　　.类型二　直角三角形的分类讨论　(·大连模拟)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为　　　　　　　　.【解后感悟】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．3．(·山西模拟)如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2－x－2过A、B、C三点，在对称轴上存在点P，以P、A、C为顶点的三角形为直角三角形．则点P的坐标是　　　　　　　　.4．(·安定模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，点P从点A出发，沿AB边以1厘米/秒的速度向点B匀速移动；点Q从点B出发，沿BC边以2厘米/秒的速度向点C匀速移动．如果P、Q同时出发，当Q点到达C点时，P点随之停止运动．用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)．(1)当PQ∥AC时，求t的值； (2)当t为何值时，P、B、Q三点构成直角三角形．类型三　勾股定理的应用　(·孝感)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为________．【解后感悟】此题中没有具体的数，故先设未知数，根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边，进一步运用锐角三角函数的定义求解．5．(1)下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是(　　)A．7，24，25B．4，5，6C．5，12，13D．2，1.5，2.5(2)(·株洲)如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3图形个数有(　　)A．1B．2C．3D．4(3)如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为(　　) A．600mB．500mC．400mD．300m(4)如图，四个全等的直角三角形纸片既可以拼成(内角不是直角)的菱形ABCD，也可以拼成正方形EFGH，则菱形ABCD面积和正方形EFGH面积之比为____________________．类型四　直角三角形的探究问题　(·桂林模拟)如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，点D在AC上，点E在BC上，且CD＝CE，连结DE.(1)线段BE与AD的数量关系是________，位置关系是________．(2)如图2，当△CDE绕点C顺时针旋转一定角度α后，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．(3)绕点C继续顺时针旋转△CDE，当90°