2022年中考数学总复习第17讲《线段、角、相交线和平行线》讲解(含答案)

第17讲　线段、角、相交线和平行线1．直线、射线、线段考试内容考试要求直线公理经过两点，有且只有条直线．bc线段公理两点之间，线段最．两点间的距离连结两点间的线段的，叫做两点间的距离．2.角考试内容考试要求角的概念定义1具有公共端点的两条组成的图形叫做角．b定义2一条____________________绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．互为余角定义如果两个角的和等于，则这两个角互余．b性质同角(或等角)的余角．c互为补角定义如果两个角的和等于，则这两个角互补．b性质同角(或等角)的补角．c3.相交线考试内容考试要求对顶角对顶角相等b c垂直性质1在同一平面内，过一点有且只有条直线与已知直线垂直．性质2直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，最短．点到直线的距离直线外一点到这条直线的____________________的长度，叫做点到直线的距离．4.角的平分线与线段的垂直平分线考试内容考试要求角的平分线线段的垂直平分线bc性质角的平分线上的点到角两边的距离．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离．判定角的内部到角的两边距离相等的点在_上．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上．5.平行线考试内容考试要求平行线的概念在同一平面内，的两条直线叫做平行线．b平行公理经过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行．bc平行公理的推论如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也．平行线的判定同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质两直线平行，同位角相等.两直线平行，内错角相等. 两直线平行，同旁内角互补．平行线间的距离定义过平行线上的一点作另一条平行线的垂线，__________的长度叫做两条平行线间的距离．b性质两条平行线间的距离处处____________________．6.命题考试内容考试要求命题的概念判断一件事情的句子叫做命题．a命题的分类命题分为命题和命题．命题的组成命题由和两个部分组成．b考试内容考试要求基本思想方程思想：在解答有关线段或角的计算问题时，找出线段之间的关系或角之间的关系，列方程来解答．c基本方法“两点之间线段最短”、“垂线段最短”在求几何问题最值时经常用到．1．(·宁波)已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为(　　)A．20°B．30°C．45°D．50° 2．(·金华)以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是(　　)A．展开后测得∠1＝∠2B．展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4C．测得∠1＝∠2D．展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA＝OB，OC＝OD3．(·台州)如图，已知直线a∥b，∠1＝70°，则∠2＝____________________.第3题图第4题图4．(·金华)如图，已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A＝20°，∠C＝120°，则∠AED的度数是____________________．【问题】下列图形中，AB∥CD.(1)能使∠1＝∠2成立的是________．(2)若∠1＝45°，你能求出各图形中∠2的度数吗？若能，直接写出答案．(3)把“AB∥CD”改为“∠1＝∠2”，那么各图形中AB∥CD还成立吗？(4)请你结合(1)、(2)、(3)的解答，回答该题用了哪些知识？ 【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理角、相交线和平行线的相关知识．类型一　线段、角的计算　(1)已知E、F两点把线段AB分成2∶3∶4三部分，D是线段AB的中点，FB＝12，求DF的长及AE∶AD；(2)在同一平面上，若∠AOB＝71°，∠BOC＝15°，OE是∠AOC的平分线，则∠AOE的度数是____________________．【解后感悟】在解答有关线段、角的计算问题时，一般要注意以下几个方面：①按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确解题的前提条件；②学会观察图形，找出线段或角之间的关系，列算式或方程来解答． 1．(1)在直线l上，线段AB＝7cm，BC＝3cm，D是AC的中点，求DB的长度．　(2)如图，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，2∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝70°，求∠EOC的度数．　　　　　　　　类型二　相交线　(1)(·嵊州模拟)如图所示的仪器中，OD＝OE，CD＝CE.小州把这个仪器往直线l上一放，使点D、E落在直线l上，作直线OC，则OC⊥l，他这样判断的理由是(　　)A．到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等(2)(·苏州模拟)如图，在Rt△ABC中，∠A＝Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是________．【解后感悟】(1)思考问题要全面是正确解答本题的关键；(2)角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．2．(1)(·黄冈)如图，在△ABC中，∠C＝Rt∠，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为(　　) A．6B．6C．9D．3(2)(·湖州)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(　　)A．8B．6C．4D．2(3)如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C.其中正确的有____________________(只填序号)；(4)(·深圳市罗湖区模拟)如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连结CD.若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为____________________．类型三　平行线　(1)如图，下列条件中：①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；则一定能判定AB∥CD的条件有________(填写所有正确的序号)．(2)(·启东模拟)如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是________． (3)(·泰州)如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝________°.【解后感悟】(1)根据图形联想平行线的判定；(2)解题的关键：若∠α与∠β的两边分别平行，即可得∠α与∠β相等或互补，注意方程思想与分类讨论思想的应用；(3)平行线的性质和判定的互逆运用，两条直线平行时，只有被第三条直线所截时才能揭示图形中的数量关系，故延长AE进行角的等量转换．3．(1)如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线的其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为(　　)A．10°B．20°C．25°D．30°(2)(·温州模拟)如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝60°，则∠2的度数是(　　)A．50°B．45°C．35°D．30°(3)(·河南模拟)如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝120°，∠3＝40°，那么∠2的度数为____________________．类型四　命题与逆命题　(1)(·奉化模拟)对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是(　　)A．∠1＝50°，∠2＝40°B．∠1＝50°，∠2＝50°C．∠1＝40°，∠2＝40°D．∠1＝45°，∠2＝45° (2)对于同一平面的三条直线，给出下列5个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题，并说明理由．已知：________，结论_______________________________________________________．【解后感悟】(1)理解满足已知条件，但不满足结论的例子是解决本题的关键；(2)本题是命题的叙述形式，利用平行线的判定方法解题．4．(1)(·福建)下列关于图形对称性的命题，正确的是(　　)A．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形(2)(·杭州模拟)选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°，求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设(　　)A．∠A≤45°，∠B≤45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A＞45°，∠B＞45°类型五　综合与应用　如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝3∠BOD＋20°.(1)求∠BOD的度数；(2)以O为端点引射线OE、OF，射线OE平分∠BOD，且∠EOF＝90°，求∠BOF的度数，并画图加以说明．　　　　　　　　【解后感悟】(1)本题利用邻补角得出关于∠BOD的方程是解题关键；(2)OE⊥OF有两种情况，以防遗漏． 5．(1)(·杭州市江干区模拟)一副直角三角尺叠放如图1所示，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当∠BAD＝15°时，BC∥DE.则∠BAD(0°＜∠BAD＜180°)其他所有可能符合条件的度数为____________________．(2)(·嘉兴模拟)如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1＋∠2＝90°.①试说明：AB∥CD；②若∠2＝25°，求∠BFC的度数．　　　【课本改变题】教材母题－－浙教版七下，第29页第13题小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？　(1)①请帮小明在图2的画板内画出你的测量方案图(简要说明画法过程)；②说出该画法依据的定理． (2)小明在此基础上进行了更深入的探究，想到两个操作：①在图3的画板内，在直线a与直线b上各取一点，使这两点与直线a、b的交点构成等腰三角形(其中交点为顶角的顶点)，画出该等腰三角形在画板内的部分．②在图3的画板内，作出“直线a、b所成的跑到画板外面去的角”的平分线(在画板内的部分)，只要求作出图形，并保留作图痕迹．请你帮小明完成上面两个操作过程．(必须要有方案图，所有的线不能画到画板外，只能画在画板内)【方法与对策】本题是借助实际问题场景的几何基本作图题．由于题目篇幅较长，需要仔细阅读，理解题意，正确作答．涉及到的几何基本作图包括：(1)过直线外一点作直线的平行线，(2)作线段的垂直平分线；涉及到的考点包括：(1)平行线的性质，(2)等腰三角形的性质，(3)三角形内角和定理，(4)垂直平分线的性质等．课本改变题是当前中考命题的一种趋势，学习中要重视课本例题和习题．【忽视平行线的性质的前提条件】如图，已知直线a、b被直线c所截，则①∠1＝∠2；②∠1＝∠3；③∠2＝∠3；④∠ 3＋∠4＝180°中，正确的结论有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案第17讲　线段、角、相交线和平行线【考点概要】1．一　短　长度　2.射线　射线　90°　相等　180°　相等　3.一　垂线段　垂线段　4.相等　相等　角的平分线　垂直平分线　5.不相交　一　平行　垂线段相等　6.真　假　题设　结论【考题体验】1．D　2.C　3.110°　4.80°【知识引擎】【解析】(1)根据平行线的性质对各选项分析判断．①由AB∥CD可得∠1＋∠2＝180°，故错误；②∵AB∥CD，∴∠1＝∠3，又∵∠2＝∠3(对顶角相等)，∴∠1＝∠2，故正确；③由AC∥BD得到∠1＝∠2，由AB∥CD不能得到，故错误；④∵AB∥CD，∴∠1＝∠A，只有AD∥BC才可以有∠1＝∠2，故错误．(2)①由AB∥CD可得∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝135°；②∠2＝45°.(3)②仍可以成立．(4)本题主要用到了“对顶角相等”，“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”的知识．【例题精析】例1　(1)设AE＝2x，EF＝3x，FB＝4x，则AB＝9x.∵D是AB的中点，∴AD＝BD＝4.5x.∵FB＝12，∴4x＝12，x＝3.又∵AF＝2x＋3x＝5x，∴DF＝5x－4.5x＝0.5x＝0.5×3＝1.5.∴AE∶AD＝2x∶4.5x＝2∶4.5＝4∶9.(2)如果射线OC在∠AOB的内部，∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝56°，∠AOE＝∠AOC＝28°，如果射线OC在∠AOB的外部，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝86°，∠AOE＝∠AOC＝43°.故答案为：28°或43°.　例2　 (1)C；(2)过D作DE⊥BC于E，∵∠A＝90°，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，∴AD＝DE＝3，∴△BDC的面积是×DE×BC＝×3×10＝15.故答案为：15.　例3　(1)①③④；(2)18°或126°；(3)如图，∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°，∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.　例4　(1)D；(2)本题答案不唯一，已知：a∥b，b∥c，结论a∥c；已知：b∥c，a⊥b，结论a⊥c；已知：a∥b，a∥c，结论b∥c；已知：b∥c，a∥c，结论a∥b；已知：b∥c，a⊥c，结论a⊥b；已知：a⊥b，a⊥c，结论b∥c.　例5　(1)由邻补角互补，得∠AOD＋∠BOD＝180°，即3∠BOD＋20°＋∠BOD＝180°，解得∠BOD＝40°；　(2)如图：由射线OE平分∠BOD，得∠BOE＝∠BOD＝×40°＝20°，由角的和差，得∠BOF′＝∠EOF′＋∠BOE＝90°＋20°＝110°，∠BOF＝∠EOF－∠BOE＝90°－20°＝70°.【变式拓展】1．(1)①当点C在线段AB延长线上，如图1：有AC＝AB＋BC＝7＋3＝10.∵D是AC的中点，∴AD＝AC＝5.∴DB＝AB－AD＝7－5＝2(cm)．②当点C在线段AB上，如图2：有AC＝AB－BC＝7－3＝4.∵D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝2.∴DB＝DC＋CB＝2＋3＝5(cm)．综上，DB的长度为2cm或5cm. (2)设∠AOB为x，则∠BOC为(180°－x)，∵OD平分∠AOB，∴∠DOB＝∠AOB，则可得∠DOB＝x，∵2∠BOE＝∠EOC，∴∠BOE＝∠BOC＝(180°－x)，∵∠DOE＝∠DOB＋∠BOE＝70°，则可得：x＋(180°－x)＝70°，解得x＝60°，∴∠BOC＝180°－60°＝120°，∴∠EOC＝∠BOC＝×120°＝80°.　2.(1)C　(2)C　(3)①②④　(4)105°　3.(1)C　(2)D(3)80°　4.(1)A　(2)D　5.(1)45°，60°，105°，135°　(2)①略；②115°.【热点题型】【分析与解】(1)方法一：利用平行线的性质．①如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即为直线a，b所成角的度数；②依据：两直线平行，同位角相等；方法二：利用三角形内角和定理．①如图2，在直线a，b上各取一点A，B，连结AB，测得∠1，∠2的度数，则180°－∠1－∠2即为直线a，b所成角的度数；②依据：三角形内角和为180°；(2)①如图3，以P为圆心，任意长为半径画弧，分别交直线b，PC于点B，D，连结BD并延长交直线a于点A，则ABPQ就是所求作的图形；②如图3，作出线段AB的垂直平分线EF，由等腰三角形的性质可知，EF是顶角的平分线，则EF就是所求作的线．【错误警示】∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2.直线a、b不一定平行，∴②③④不一定成立．故答案为A.