2022年中考数学总复习第19讲《特殊三角形(1)等腰三角形》讲解(含答案)

第19讲　特殊三角形第1课时　等腰三角形1．等腰三角形考试内容考试要求概念有两条边　　　　　　　　的三角形是等腰三角形．a性质1.等腰三角形是轴对称图形，一般有　　　　　　　　条对称轴．2．性质1：等腰三角形的两底角　　　　　　　　(简写成“等边对　　　　　　　　”)．3．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的　　　　　　　　、底边上的　　　　　　　　相互重合(简写成“三线合一”)．c判定1.有两边相等的三角形是等腰三角形；2．有两角相等(简写成“等角对　　　　　　　　”)的三角形是等腰三角形．2.等边三角形考试内容考试要求概念有　　　　　　　　条边相等的三角形叫做等边三角形．a性质1.具有一般等腰三角形的所有性质；2．等边三角形的三个角都相等，并且每个角都于　　　　　　　　；3．等边三角形是轴对称图形，共有　　　　　　　　条对称轴．c判定1.三条边相等的三角形是等边三角形；2．三个角都　　　　　　　　的三角形是等边三角形；3．有一个角是　　　　　　　　的等腰三角形是等边三角形．拓展S等边△ABC＝ah＝a2，h＝a，其中a为边长，h为高． 考试内容考试要求基本方法求等腰三角形腰上的高，在所给条件不确定的条件下，应按顶角为锐角和钝角两种情况来考虑：(1)当顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部；(2)当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部．c1．(·台州)如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是(　　)A．AE＝ECB．AE＝BEC．∠EBC＝∠BACD．∠EBC＝∠ABE2．(·丽水)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是____________________．3．(·义乌)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是____________________cm.【问题】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D为EC中点． (1)你能从图中得到哪些信息？(2)求∠CAE的度数；(3)求证：△ADE是等边三角形．　　　　　　　　【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理等腰三角形、等边三角形的有关知识．类型一　等腰三角形的性质与判定　如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上．(1)若顶角40°，则一个底角的度数为________；(2)若一个内角50°，则顶角的度数为________；(3)若一个外角为100°，则顶角的度数为________；(4)若AD⊥BC，AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________．(5)若BD＝DC，∠B＝50°，则∠DAC＝________．(6)若△ABC的两条边长为7cm和14cm，则它的底边为________cm.【解后感悟】解答此类问题时要注意角的指代明确性：顶角还是底角、内角还是外角；对于(4)(5)没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．1．(1)(·泰安)如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为(　　) A．44°B．66°C．88°D．92°(2)(·绍兴模拟)如图，长方形ABCD中，M为CD中点，今以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于P点．若∠PBC＝70°，则∠MPC的度数为(　　)A．20°B．35°C．40°D．55°(3)(·滨州)如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为(　　)A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°(4)(·温州模拟)如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连结AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE＝10cm，则AB＋BD＝　cm.类型二　等边三角形的性质与判定　(1)等边△ABC中，AB＝4，则它的高为________，△ABC的面积为________；(2)如图1，等边△ABC中，CD是∠ACB的平分线，过D作DE∥BC交AC于E，△ABC的边长为a，则△ADE的周长是________；(3)如图2，等边△ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，则∠E的度数为________；(4)如图3，等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为__________． 【解后感悟】解题的关键是利用现有图形或画出图形，利用等边三角形的性质及勾股定理，揭示图形之间的数量关系来解决问题．2．(1)(·本溪模拟)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是　　　　　　　　.(2)(·上海模拟)如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是　　　　　　　　.(请写出正确结论的序号)．3．(·河北模拟)如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.(1)求证：AD＝CE；(2)求∠DFC的度数．　　　　　　 类型三　等腰三角形构造的分类讨论　(·黄冈模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2，2)，点Q在坐标轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有______个．【解后感悟】此题主要考查等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，解答此题的关键是如何确定点Q(即分类讨论)，以及利用勾股定理求出OP的长．4．(1)(·西宁模拟)如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC＝90°，连结AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是____________________度．(2)(·丹东模拟)如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP＝4，∠PBC＝60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有　　个．类型四　等腰三角形的探究问题　(1)问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连结BE.填空：①∠AEB的度数为________；②线段AD、BE之间的数量关系是________．(2)拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连结BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．(3)解决问题 如图3，在正方形ABCD中，CD＝.若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．【解后感悟】本题主要考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，而通过添加适当的辅助线从而能用(2)中的结论解决问题是解决第(3)题的关键．它是中考的热点题型．5．(·江西模拟)有一三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是　　　　　　　　.类型五　等腰三角形的综合运用　(·石家庄模拟)如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连结OD. (1)求证：△COD是等边三角形；(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？【解后感悟】本题以“空间与图形”中的核心知识(如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等)为载体，内容由浅入深，层层递进，试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法(如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等)．6．(·河南)(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.填空：当点A位于　　　　　　　　时，线段AC的长取得最大值，且最大值为　　　　　　　　.(用含a，b的式子表示)(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连结CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值． 图1图2(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．【探索研究题】(·菏泽)如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.(1)如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°.①求证：AD＝BE；②求∠AEB的度数．(2)如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ ABE中AE边上的高，试证明：AE＝2CM＋BN.【方法与对策】(1)①通过角的计算找出∠ACD＝∠BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC＝BC，DC＝EC”，利用全等三角形的判定(SAS)即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD＝BE；②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC＝∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；(2)根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用(1)的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．这类探究性问题，往往从特殊到一般，积累经验，利用前小题的结论或方法解决问题．这类问题是中考的热点题型．【忽视等腰三角形腰的高线不明确】(·西宁)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是　　　　　　　　. 参考答案第19讲　特殊三角形第1课时　等腰三角形【考点概要】1．相等　一　相等　等角　中线　高　等边　2.三　60°　三　相等　60°【考题体验】1．C　2.100°　3.18【知识引擎】【解析】(1)从角、边、对称性、图形的形状角度去考虑，并注意之间的相关性．(2)根据等腰三角形两底角相等求出∠B＝30°，∠BAE＝∠B＝30°，∴∠CAE＝120°－30°＝90°；(3)根据直角三角形斜边上的中线性质得出AD＝EC＝ED＝DC，得出∠DAC＝∠C＝30°，∴∠EAD＝60°，∴△ADE是等边三角形．【例题精析】例1　(1)70°　(2)80°或50°　(3)80°或20°　(4)20　(5)40°　(6)7　例2　(1)2；4；(2)a；(3)30°；(4)60°　例3　∵P(2，2)，∴OP＝＝2，∴当点Q在y轴上时，Q点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，(0，4)，(0，2)；当点Q在x轴上时，Q点的坐标分别为(2，0)，(－2，0)，(4，0)，(2，0)．所以共有8个．故答案为：8.　例4　(1)①60°　②AD＝BE；　(2)∠AEB＝90°；AE＝2CM＋BE.理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠BEC＝ ∠ADC＝135°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.在等腰Rt△DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM.∴AE＝DE＋AD＝2CM＋BE.　(3)或.∵PD＝1，∠BPD＝90°，∴BP是以点D为圆心、以1为半径的⊙D的切线，点P为切点．第一种情况：如图1，过点A作AP的垂线，交BP于点P′，可证△APD≌△AP′B，PD＝P′B＝1，CD＝，∴BD＝2，BP＝，∴AM＝PP′＝(PB－BP′)＝.第二种情况如图2，可得AM＝PP′＝(PB＋BP′)＝.　例5　(1)∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形．　(2)当α＝150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝90°，∵∠α＝150°，∠AOB＝110°，∠COD＝60°，∴∠AOD＝360°－∠α－∠AOB－∠COD＝360°－150°－110°－60°＝40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．　(3)①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∵∠AOD＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠ADO＝α－60°，∴190°－α＝α－60°，∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO.∵∠OAD＝180°－(∠AOD＋∠ADO)＝180°－(190°－α＋α－60°)＝50°，∴α－60°＝50°，∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD.∵∠AOD＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠OAD＝＝120°－，∴190°－α＝120°－，解得α＝140°.综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．【变式拓展】1．(1)D　(2)B　(3)D　(4)10　2.(1)45°　(2)①②　3.(1)略．　(2)60°.　4.(1)120和150　(2)5　5.25°或40°或10°　6.(1)CB的延长线上　a＋b　(2)①DC＝BE，理由如下：∵△ABD和△ACE为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB.∴DC＝BE.②BE的最大值是4.(3)AM长的最大值是3＋2，点P的坐标为(2－，)． 【热点题型】【分析与解】(1)①∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°－2×50°＝80°.∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB，∠DCE＝∠DCB＋∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE.∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC.在△ACD和△BCE中，∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE.　②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°－∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°.∵∠BEC＝∠CED＋∠AEB，且∠CED＝50°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°.(2)∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠CDM＝∠CEM＝×(180°－120°)＝30°.∵CM⊥DE，∴∠CMD＝90°，DM＝EM.在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，∴DE＝2DM＝2×＝2CM.∵∠BEC＝∠ADC＝180°－30°＝150°，∠BEC＝∠CEM＋∠AEB，∴∠AEB＝∠BEC－∠CEM＝150°－30°＝120°，∴∠BEN＝180°－120°＝60°.在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，∴BE＝＝BN.∵AD＝BE，AE＝AD＋DE，∴AE＝BE＋DE＝2CM＋BN.【错误警示】当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．即可求得顶角是90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°－20°＝70°.故答案为：110°或70°.