2022年中考数学总复习第14讲《反比例函数及其图象》讲解(含答案)

第14讲　反比例函数及其图象1．反比例函数的概念、图象与性质考试内容考试要求反比例函数的概念一般地，形如y＝(k为常数，k≠____________________)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数．自变量的取值范围是____________________．b确定反比例函数的解析式常用方法：待定系数法．cy＝(k≠0)图象所在象限性质k>0一、三象限(x、y同号)在每个象限内，y随x增大而____.k0)的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB＝2，AD＝4，点A的坐标为(2，6)．(1)直接写出B、C、D三点的坐标；(2)若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式． 【方法与对策】把线段的长转化为点的坐标，在求k的值的时候，由于k的值等于点的横坐标与纵坐标之积，所以直接可得方程2(6－a)＝6(4－a)，求出平移距离a后再由坐标求k，实际上也可把A′，C′两点坐标代入y＝中，得到关于a、k的方程组从而直接求得k的值．该题型是图形变换，是中考的常见题型．【忽视反比例函数图象所在象限，求k时出现错解现象】如图，反比例函数y＝(k≠0)的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则k的值为________． 参考答案第14讲　反比例函数及其图象【考点概要】1．0　x≠0　减小　增大　双曲线　原点　2.常数　|k|　|y|　|x|　|xy|　k　|k|　|k|　|k|【考题体验】1．C　2.C　3.(4，1)　4.(1)由长方形面积为2000平方米，得到xy＝2000，即y＝；(2)当x＝20(米)时，y＝＝100(米)，所以当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长为100米．【知识引擎】【解析】(1)不唯一，如k＞0，图象在一、三象限等．(2)不唯一，如k＝12，直线y＝x，OP＝OQ等．【例题精析】例1　(1)－2　(2)y1，y3，y2　(3)y＝－　(4)(1，－4)　(5)m＜1　例2　(1)y＝；　(2)2；　(3)2.　例3　(1)x＞1；(2)－2；(3)y＝x－2.　例4　(1)3；　(2)1≤k≤4；　(3)AB边的中点(－1，2)，BC边的中点(－2，0)，AC边的中点(－2，－1)，向右平移m(m＞0)个单位后，∴AB边的中点(－1＋m，2)，AC边的中点(－2＋m，－1)．∴2(－1＋m)＝3或－1×(－2＋m)＝3.∴m＝2.5或m＝－1(舍去)．故答案为2.5.　(4)过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，而DE＝2OD，∴S矩形OEBF＝3S矩形AFOD＝9，∴k＝9，故答案为9.例5(1)由图象可知，当0≤x≤4时，y与x成正比例关系，设y＝kx.由图象可知，当x＝4时，y＝8，∴4k＝8，解得：k＝2；∴y＝2x(0≤x≤4)．又由题意可知：当4≤x≤10时，y与x成反比，设y＝.由图象可知，当x＝4时，y＝8，∴m＝4×8＝32；∴y＝(4≤x≤10)．即：血液中药物浓度上升时y＝2x(0≤x≤4)；血液中药物浓度下降下时y＝(4≤x≤10)．　(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升即：y≥4，∴2x≥4且≥4，解得x≥2且x≤8；∴2≤x≤8，即持续时间为6小时．【变式拓展】 1．(1)②③　(2)①③④　(3)m＜　2.(1)－2(2)　(3)①∵直线y＝2x与反比例函数y＝(k≠0，x>0)的图象交于点A(1，a)，先将A(1，a)代入直线y＝2x，得：a＝2，∴A(1，2)，将A(1，2)代入反比例函数y＝中得：k＝2；②∵B是反比例函数y＝图象上的点，且BC⊥x轴于点C，∴△BOC的面积＝|k|＝×2＝1.　3.(1)4　(2)①将A(a，3)代入y2＝得a＝2，∴A(2，3)，将A(2，3)代入y1＝x＋b得b＝1，∴y1＝x＋1；②∵A(2，3)，∴根据图象得在y轴的右侧，当y1>y2时，x>2.　4.(1)　　(2)①由已知可得，a＝3，k＝3，∴反比例函数的表达式为y＝，B(3，1)；②如图，点B关于x轴对称，得到B′(3，－1)，PA＋PB＝PA＋PB′≥AB′，当P点和P′点重合时取到等号．易得直线AB′：y＝－2x＋5，∴P′，即满足条件的P的坐标为，设y＝－x＋4交x轴于点C，则C(4，0)，∴S△PAB＝S△APC－S△BPC＝×PC×(yA－yB)，即S△PAB＝××(3－1)＝.　5.(1)把B(12，20)代入y＝中得：k＝12×20＝240　(2)设AD的解析式为：y＝mx＋n，把(0，10)、(2，20)代入y＝mx＋n中得：解得∴AD的解析式为：y＝5x＋10，当y＝15时，15＝5x＋10，x＝1，15＝，x＝＝16，∴16－1＝15h.答：恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有15小时．【热点题型】【分析与解】(1)先根据矩形的对边平行且相等的性质得到B、C、D三点的坐标，B(2，4)，C(6，4)，D(6，6)． (2)从矩形的平移过程发现只有A，C两点能同时在双曲线上(这是一种合情推理，不必证明)，设平移距离为a，把A，C两点坐标代入y＝中，得到关于a，k的方程组从而求得k的值．如图，矩形ABCD平移后得到矩形A′B′C′D′，平移距离为a，则A′(2，6－a)，C′(6，4－a)．∵点A′，点C′在y＝的图象上，∴2(6－a)＝6(4－a)，解得a＝3，∴点A′(2，3)，∴反比例函数的解析式为y＝.【错误警示】如图，过点A作AC⊥x轴于点C.则四边形ABOC是矩形，∴S△ABO＝S△AOC＝1，∴|k|＝S矩形ABOC＝S△ABO＋S△AOC＝2，∴k＝2或k＝－2.又∵函数图象位于第二象限，∴k＜0，∴k＝－2.