2022年中考数学总复习第21讲《矩形、菱形与正方形》讲解(含答案)

第21讲　矩形、菱形与正方形1．矩形考试内容考试要求矩形的定义有一个角是的平行四边形叫做矩形．b矩形的性质(1)矩形具有平行四边形所有的性质．c(2)矩形的四个角都是，对角线互相平分并且．(3)矩形既是一个轴对称图形，它有两条对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心就是．矩形的判定(1)定义法.(2)有三个角是直角的四边形是矩形．(3)的平行四边形是矩形．2.菱形考试内容考试要求菱形的定义有一组的平行四边形叫做菱形．b菱形的性质(1)菱形具有平行四边形所有的性质．c(2)菱形的四条边，对角线互相，并且每条对角线平分一组对角．(3)菱形既是一个轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心就是．(4)菱形的面积等于对角线乘积的．(1)定义法． 菱形的判定(2)四条边的四边形是菱形．(3)对角线的平行四边形是菱形．3.正方形考试内容考试要求正方形的定义有一组邻边，并且有一个角是_______________的平行四边形叫做正方形．b正方形的性质(1)正方形的四条边，四个角都是，对角线互相且，并且每一条对角线平分一组对角，具有矩形和菱形的所有性质．c(2)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有_____________条，对称中心是对角线的交点．正方形的判定(1)有一组邻边相等的____________________是正方形.(2)有一个角是直角的是正方形．(3)对角线的四边形是正方形．4.平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系考试内容考试要求基本方法正方形的判定可简记为：菱形＋矩形＝正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形)．c1．(·杭州)在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内， 以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为____________________．2．(·衢州)如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F(保留作图痕迹，不写作法和证明)．(2)连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．　　　　　　　　【问题】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形．因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题，回答下列问题：(1)将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关系图中：(2)要证明一个四边形是正方形，可以先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的________相等；或者先证明四边形是菱形，再证明这个菱形有一角是________．(3)如图菱形ABCD，某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积是S＝a2，对此结论，你认为是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，举出一个反例来说明． 【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，以及性质与判定．类型一　矩形的性质与判定　(1)如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是(　)A．AB＝CDB．AC＝BDC．AB＝BCD．AC⊥BD(2)如图，在矩形ABCD中，有以下结论：①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD＝45°时，矩形ABCD会变成正方形；⑥AC所在直线为对称轴；⑦矩形ABCD的周长是28，点E是CD的中点，AC＝10时，△DOE的周长是12.则正确结论的序号是________．【解后感悟】(1)结合图形，利用图形条件、已知条件综合判定；(2)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭示图形的数量关系是解题关键．1．(1)(·南昌)如图，小贤为了检验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架， 观察所得四边形的变化，下列判断错误的是(　　)A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形B．BD的长度增大C．四边形ABCD的面积不变D．四边形ABCD的周长不变(2)(·临沂)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．AB＝BEB．DE⊥DCC．∠ADB＝90°D．CE⊥DE2．(·南京模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB＝3∠CBN.(1)求证：∠PNM＝2∠CBN；(2)求线段AP的长．类型二　菱形的性质与判定　(1)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，连结OE， ①若菱形的边长是10，一条对角线长是12，则此菱形的另一条对角线长是______．②若OE＝3，则菱形的周长是________．③若∠ABC＝60°，周长是16，则菱形的面积是________．(2)已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选一个作为补充条件后，使得四边形ABCD是菱形，现有下列四种选法，其中都正确的是(　)A．①或②B．②或③C．③或④D．①或④【解后感悟】(1)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭示图形的数量关系是解题关键；(2)结合图形，利用图形条件、已知条件综合判定．3．(1)(·黔东南州)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝(　　)A.B.C．12D．24(2)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是____________________(只填写序号)．(3)(·梅州)如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB 长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连结AP并延长交BC于点E，连结EF.①四边形ABEF是____________________；(选“矩形”、“菱形”、“正方形”或“无法确定”)(直接填写结果)②AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF＝10，则AE的长为____________________，∠ABC＝____________________°.(直接填写结果)4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连结CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．类型三　正方形的性质与判定　如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连结DF、AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF. 【解后感悟】正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质．正方形的判定方法有两条道路：(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．5．(1)(·日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(　　)A．①②B．②③C．①③D．②④(2)如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝(　　)A．2B．3C．2D．2(3)(·黄冈)如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E.若∠CBF＝20°，则∠AED等于____________________度．6．(·绍兴模拟)如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连结BF、DF.(1)求证：BF＝DF；(2)连结CF，请直接写出BE∶CF的值(不必写出计算过程)． 　　　　　　　　类型四　特殊平行四边形的综合运用　(·临沂)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连结DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连结FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是　　　　　　　　，位置关系是　　　　　　　　；(2)如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【解后感悟】本题是三角形与四边形综合问题，涉及全等三角形、平行四边形、矩形、正方形的判定与性质．解题的关键是利用全等三角形的对应边相等进行线段的等量代换，从而求证出平行四边形．7．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF.给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形； ④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝EC.其中正确结论的序号是____________________．8．(·荆州)如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连结EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．　　　　　　　　【课本改变题】教材母题－－浙教版八下第147页，作业题第5题(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°.求证：BE＝CF；　(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4.求GH的长；(3)已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH 交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4.直接写出下列两题的答案：①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH的长；②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH的长(用n的代数式表示)．【方法与对策】这题是从特殊到一般的规律探究题．从课本题出发逐步提出问题，解决问题，然后根据这些解题体验，领悟解题方法，再来解决一般性问题，这是中考命题热点之一，平时学习要重视一些典型的基本图形．【由于思维定势，对问题考虑不全】若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为________． 参考答案第21讲　矩形、菱形与正方形【考点概要】1．直角　直角　相等　对角线的交点　对角线相等　2.邻边相等　相等　垂直平分　对角线的交点　一半相等　互相垂直　3.相等　直角　相等　直角　垂直平分　相等　四　矩形　菱形　互相垂直平分且相等4.两组对边分别平行　有一个角是直角　有一组邻边相等　有一组邻边相等　有一个角是直角【考题体验】1．105°或45°　2．(1)如图，EF为所求直线；　(2)四边形BEDF为菱形，理由为：证明：∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，∵BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF，∴四边形BEDF为菱形．【知识引擎】【解析】(1)根据在平行四边形中，邻边相等的是菱形，邻边垂直的是矩形，而既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，可根据此关系来画图．如图(2)根据正方形的判定方法进行解答即可．即两种常见的方法：①一组邻边相等的矩形是正方形．②一个角是直角的菱形是正方形．∴填：一组邻边，直角．(3)本题的证明方法有多种，可根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，将正方形分成四个直角三角形的面积和来求证，也可通过对角线求出正方形的边长来求证．∴结论正确．证明：S正方形ABCD＝S△AOB＋S△AOD＋S△COD＋S△BOC＝4××a×a＝a2.【例题精析】例1　(1)B；(2)①②③⑤⑦　例2　(1)①16　②24　③8　(2)D　例3　证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OD＝OC.又∵DE＝CF，∴OD －DE＝OC－CF，即OF＝OE，在Rt△AOE和Rt△DOF中，∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即可得AM⊥DF.　例4　(1)FG＝CE，FG∥CE；(2)过点G作GH⊥CB的延长线于点H，∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°，∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE，在△HGE与△CED中，，∴△HGE≌△CED(AAS)，∴GH＝CE，HE＝CD，∵CE＝BF，∴GH＝BF，∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝EC，∴FG＝EC.　(3)成立．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°，在△CBF与△DCE中，，∴△CBF≌△DCE(SAS)，∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE，∵EG＝DE，∴CF＝EG，∵DE⊥EG，∴∠DEC＋∠CEG＝90°，∵∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠CDE＝∠CEG，∴∠BCF＝∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF是平行四边形，∴FG∥CE，FG＝CE.【变式拓展】1．(1)C　(2)B　2.(1)∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN＝∠MNB，∵∠PNB＝3∠CBN，∴∠PNM＝2∠CBN；(2)连结AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN＝∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN＝∠ANM，由(1)知∠PNM＝2∠CBN，∴∠PAN＝∠PNA，∴AP＝PN，∵AB＝CD＝4，M，N分别为AB，CD的中点，∴DN＝2，设AP＝x，则PD＝6－x，在Rt△PDN中，PD2＋DN2＝PN2，∴(6－x)2＋22＝x2，解得：x＝，所以AP＝. 　3.(1)A　(2)③　(3)①菱形　②10　120　4.(1)略；　(2)∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为2，∴菱形的面积为4×2＝8.　5.(1)B　(2)C(3)65　6.(1)只要证明△BEF≌△DGF(SAS)，∴BF＝DF；　(2)∵BF＝DF，∴点F在对角线AC上，∵AD∥EF∥BC，∴BE∶CF＝AE∶AF＝AE∶AE＝，∴BE∶CF＝.　7.①②④⑤　8.当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′.理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝DA＝DB，∴∠DAC＝∠DCA，∵A′C′∥AC，∴∠DA′E＝∠A，∠DEA′＝∠DCA，∴∠DA′E＝∠DEA′，∴DA′＝DE，∴△A′DE是等腰三角形，∵四边形DEFD′是菱形，∴EF＝DE＝DA′，EF∥DD′，∴∠C′EF＝∠DA′E，∠EFC′＝∠C′D′A′，∵CD∥C′D′，∴∠A′DE＝∠A′D′C′＝∠EFC′，在△A′DE和△EFC′中∴△A′DE≌△EFC′.【热点题型】【分析与解】(1)证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠EAB＋∠AEB＝90°.∵∠EOB＝∠AOF＝90°，∴∠FBC＋∠AEB＝90°，∴∠EAB＝∠FBC，∴△ABE≌△BCF，∴BE＝CF.　(2)如图，过点A作AM∥GH交BC于M，过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，∴EF＝BN，GH＝AM，∵∠FOH＝90°，AM∥GH，EF∥BN，∴∠NO′A＝90°，故由(1)得，△ABM≌△BCN，∴AM＝BN，∴GH＝EF＝4.　(3)①8　②4n.【错误警示】由题中射线BM交正方形的一边于点F知有如下两种情形：∴BM＝或