2022年中考数学总复习第37讲《方案设计型问题》讲解(含答案)

第37讲　方案设计型问题内容特性方案设计型问题是指运用数学基础知识建模的方法，按题目所呈现的要求进行计算、论证、选择、判断、设计的一种数学试题．方案设计涉及问题的多解性，以函数、方程等思想的指导，利用最优化方法解决问题.解题策略建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型和几何模型等，依据所建立的数学模型求解，从而设计方案.基本思想运用方程思想、函数思想和数形结合解决方程或不等式方案设计问题，函数方案设计问题，几何方案设计问题.类型一　利用计算和判断比较的方案设计　某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)：方案1：所有评委所给分的平均数；方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余所给分的平均数；方案3：所有评委所给分的中位数；方案4：所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图： (1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．【解后感悟】通过计算得出各个方案的数值，逐一比较；学会选用适当的统计量分析问题．1．一家特色煎饼店提供厚度相同、直径不同的两种煎饼，甲种煎饼直径20厘米卖价10元，乙种煎饼直径30厘米卖价15元，请问：买哪种煎饼划算？(　　　　　　　　)A．甲B．乙C．一样D．无法确定类型二　利用方程(组)的方案设计　某乳制品厂现有鲜牛奶10吨，若直接销售，每吨可获利500元；若制成酸奶销售，每吨可获利1200元；若制成奶粉销售，每吨可获利2000元．该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工鲜牛奶3吨；若制成奶粉，每天可加工鲜牛奶1吨(两种加工方式不能同时进行)．受气温条件限制，这批鲜牛奶必须在4天内全部销售或加工完成．为此该厂设计了以下两种可行方案：方案一：4天时间全部用来生产奶粉，其余直接销售鲜奶；方案二：将一部分制成奶粉，其余制成酸奶，并恰好4天完成．你认为哪种方案获利最多，为什么？ 【解后感悟】本题是一元一次方程的应用，注意仔细理解两种方案的内容，在求解方案二的获利时，要设出未知数，利用方程思想求解．2．某班组织班团活动，班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少买1件．(1)若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的关系式；(2)有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；(3)从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率．　　　　　　　　类型三　利用不等式的方案设计　(·资阳)某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万元，购买A型4台、B型2台需68万元．(1)求出A型、B型污水处理设备的单价；(2)经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．　　　　　　【解后感悟】此题是一元一次不等式的应用，根据已知得出不等式求出所有方案是解题关键．3．(·绍兴模拟)某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： 销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台1800元第二周4台10台3100元(进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本)(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．　　　　　　类型四　利用函数的方案设计　某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．【解后感悟】本题是二次函数的应用，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在x＝－时取得． 4．(·衢州)“五·一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．　　　　　　　　5．(·泸州)某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元(两次购进的A、B两种花草价格均分别相同)．(1)A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？(2)若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．　　　　　　　　类型五　利用图形的方案设计　某校数学研究性学习小组准备做测量旗杆的数学实践活动，来到旗杆下，发现旗杆AB顶端A垂下一段绳子ABC如图．经研究发现，原来制定的一系列测量方案，在此都不需要．如今只借助垂下的绳子和一根皮尺，在不攀爬旗杆的情况下，测量相关数据，就可以计算出旗杆的高度． (1)请你给出具体的测量方案，并写出推算旗杆高度的过程；(2)推测这个数学研究性学习小组原来制定的一系列测量旗杆的方案是什么？【解后感悟】关于物体的测量是一个实际问题，因此必须考虑实际环境，结合实际环境，充分运用所学知识制定方案，制定方案时要遵循可操作性强、简单易行原则．第2个问题的测量方案还可有其他的，有兴趣的同学可自行进一步探讨．对于以上2种测量方案的相关计算方法，请同学们自己给出．6．(·镇江模拟)在棋盘中建立如图所示的直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们的坐标分别是(－1，1)，(0，0)，(1，0)．(1)如图2，添加棋子C，使四颗棋子A，O，B，C成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；(2)在其他格点位置添加一颗棋子P，使四颗棋子A，O，B，P成为轴对称图形，请直接写出棋子P的位置的坐标．(写出2个即可)7．(·海陵模拟)某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造， 测得两直角边长分别为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边长的直角三角形．请你设计出所有合适的方案，画出草图，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．【探索研究题】要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x；(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积(小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同)．【方法与对策】本题是一元二次方程的应用，特别是图形的面积问题更是近几年中考中考查一元二次方程的应用的主要题型．该题型是实际应用和图形变换相结合，是中考命题的方式之一．【忽视变量前系数，导致解答不全而出错】为了迎接“五·一”小长假的购物高峰， 某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价180元，售价320元；乙种服装每件进价150元，售价280元．(1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件？(2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润＝售价－进价)不少于26700元，且购进甲服装不超过80件，则该专卖店有几种进货方案？(3)在(2)的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a(0＜a＜20)元出售，乙种服装价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 参考答案第37讲　方案设计型问题【例题精析】例1　(1)方案1最后得分：×(3.2＋7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4＋9.8)＝7.7；方案2最后得分：×(7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4)＝8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4.(2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案；又因为方案4中的众数有两个，从而使众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．例2　方案一获利：4×2000＋6×500＝11000(元)．方案二：设制奶粉x天，则1×x＋(4－x)×3＝10，解得x＝1天．故1×1×2000＋3×3×1200＝12800(元)．故方案二获利最多．　例3　(1)设A型污水处理设备的单价为x万元，B型污水处理设备的单价为y万元，根据题意可得：，解得：.答：A型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的单价为10万元；(2)设购进a台A型污水处理器，根据题意可得：220a＋190(8－a)≥1565，解得：a≥1.5，∵A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高，∴A型污水处理设备买越少，越省钱，∴购进2台A型污水处理设备，购进6台B型污水处理设备最省钱．　例4　(1)w＝(x－20)(250－10x＋250)＝－10x2＋700x－10000；　(2)w＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250所以，当x＝35时，w有最大值2250，即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大；(3)方案A：由题可得20＜x≤30，因为a＝－10＜0，对称轴为x＝35，抛物线开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，所以，当x＝30时，w取最大值为2000元，方案B：由题意得解得：45≤x≤49，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，所以，当x＝45时，w取最大值为1250元，因为2000元＞1250元，所以选择方案A.　例5　(1)测量方案设计如下：①测量绳子比旗杆多出的部分BC＝am；②把绳子ABC拉紧到地面D处如图1，测量B到D的距离BD＝bm.推算过程：设旗杆的高度为xm，则AD是(x＋a)m.在直角△ABD中，根据AB2＋BD2＝AD2得x2＋b2＝(x＋a)2，x2＋b2＝x2＋a2＋2ax，解得x＝.(2)这个数学研究性学习小组原来制定的测量旗杆的方案可能有以下几个： 【变式拓展】1．B　2.(1)根据题意得：2x＋y＝15，∴y与x之间的关系式为y＝15－2x.(2)购买方案：x＝1，y＝13；x＝2，y＝11；x＝3，y＝9；x＝4，y＝7；x＝5，y＝5；x＝6，y＝3，x＝7，y＝1，∴共有7种购买方案．(3)∵买到的中性笔与笔记本数量相等的只有1种情况，∴买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为：.　3.(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，得：解得：答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；(2)设采购A种型号电风扇a台，依题意得：200a＋170(30－a)≤5400，得：a≤10.答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；(3)依题意有：(250－200)a＋(210－170)(30－a)＝1400，解得：a＝20，∵a＞10，∴在(2)的条件下超市不能实现利润1400元的目标．　4.(1)设y1＝k1x＋80，把点(1，95)代入，可得95＝k1＋80，解得k1＝15，∴y1＝15x＋80(x≥0)；设y2＝k2x，把(1，30)代入，可得30＝k2，即k2＝30，∴y2＝30x(x≥0)；(2)当y1＝y2时，15x＋80＝30x，解得x＝；当y1＞y2时，15x＋80＞30x，解得x＜；当y1＜y2时，15x＋80＜30x，解得x＞；∴当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算．　5.(1)设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得：，解得：，∴A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元．(2)设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为(31－m)株，∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，∴31－m＜2m，解得：m＞，∵m是正整数，∴m最小值＝11，设购买树苗总费用为W＝20m＋5(31－m)＝15m＋155，∵k＞0，∴W随m的减小而减小，当m＝11时，W最小值＝15×11＋155＝320(元)．答：购进A种花草的数量为11株、B种20株，费用最省；最省费用是320元．　6.(1)如图，答案不唯一；　(2)(2，1)，(0，－1)． 7．如图1所示：S△ABD＝×8×12＝48(m2)；如图2所示：S△ABD＝×8×10＝40(m2)；如图3所示：在Rt△ACD中，AC2＋DC2＝AD2，即82＋x2＝(x＋6)2，解得：x＝，故S△ABD＝×8×＝(m2)．【热点题型】【分析与解】(1)根据小亮的方案表示出矩形的长和宽，利用矩形的面积公式列出方程求解即可．根据小亮的设计方案列方程得：(52－x)(48－x)＝2300，解得：x＝2或x＝98(舍去)，∴小亮设计方案中甬道的宽度为2m；(2)求得甬道的宽后利用平行四边形的面积计算方法求得两个阴影部分面积的和即可．作AI⊥CD，HJ⊥EF，垂足分别为I，J，∵AB∥CD，∠1＝60°，∴∠ADI＝60°，∵BC∥AD，∴四边形ADCB为平行四边形，∴BC＝AD，由(1)得x＝2，∴BC＝HE＝2＝AD，在Rt△ADI中，AI＝2sin60°＝.∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为52×48－52×2－48×2＋()2＝2299平方米．【错误警示】(1)设购进甲种服装x件，则乙种服装是(200－x)件，根据题意得：180x＋150(200－x)＝32400，解得：x＝80，200－x＝200－80＝120(件)，则购进甲、乙两种服装分别为80件、120件；(2)设购进甲种服装y件，则乙种服装是(200－y)件，根据题意得：(320－180)y＋(280－150)(200－y)≥26700，解得：y≥70，而y≤80，∴70≤y≤80，又∵y是正整数，∴共有11种方案；(3)设总利润为W元，W＝(140－a)y＋130(200－y)，即w＝(10－a)y＋26000.①当0＜a＜10时，10－a＞0，W随y增大而增大，∴当y＝80时，W有最大值，即此时购进甲种服装80件，乙种服装120件；②当a＝10时，(2)中所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；③当10＜a＜20时，10－a＜0，W随y增大而减小．当y＝70时，W有最大值，即此时购进甲种服装70件，乙种服装130件．