2022年中考数学总复习第23讲《直线与圆的位置关系》讲解(含答案)

第23讲　直线与圆的位置关系1．直线和圆的位置关系：考试内容考试要求直线和圆的位置图形(设r是⊙O的半径，d是圆心O到直线l的距离)公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系公共点名称直线名称a相交2dr无无2.圆的切线考试内容考试要求切线的判定　(1)与圆有____________________公共点的直线是圆的切线(定义法).bc(2)到圆心的距离等于____________________的直线是圆的切线.(3)过半径外端点且半径的直线是圆的切线．切线的性质　(1)切线与圆只有____________________公共点.(2)切线到圆心的距离等于圆的____________________.(3)切线垂直于经过切点的． 切线长过圆外一点作圆的切线，这点和之间的线段长叫做这点到圆的切线长．切线长定理　从圆外一点可以引圆的____________________条切线，它们的切线长____________________，这一点和圆心的连线____________________两条切线的夹角.3.三角形与圆考试内容考试要求确定圆的条件不在直线的三个点确定一个圆．b三角形的外心经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做这个圆的内接三角形；外心到三角形的距离相等．ab三角形的内心与三角形各边都相切的圆叫三角形的，内切圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫圆的外切三角形，内心到三角形的距离相等．拓展直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a，b是Rt△ABC的两条直角边，c为斜边，则：①直角三角形的外接圆半径R＝；②直角三角形的内切圆半径r＝.考试内容考试要求基本思想分类讨论思想：圆是一种极为重要的几何图形，由于图形位置、形状及大小的不确定，经常出现多结论情况，解题时漏解出错时有发生，解决这类问题，一定要仔细分析，缜密思考，分类讨论，逐一解答．(1)由于点在圆周上的位置的不确定而分类讨论；(2)由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论；c (3)由于弦的位置不确定而分类讨论；(4)由于直线与圆的位置关系的不确定而分类讨论．基本方法判断一直线是否为圆的切线的方法：①连半径，证垂直；②作垂线，证半径．1．(·衢州)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为(　　)A.B.C.D.2．(·湖州)如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是(　　)A．4B．2C．8D．43．(·嘉兴)如图，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为(　　)A．2.3B．2.4C．2.5D．2.64．(·杭州)如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝____________________. 【问题】(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为________．(2)通过(1)的解答，你能联想直线与圆相切的哪些知识．　　　　　　【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理直线与圆的位置关系，以及切线的判定和性质．类型一　直线与圆位置关系的判断　(·无锡模拟)如图，平面直角坐标系中，已知P(6，8)，M为OP中点，以P为圆心，6为半径作⊙P，则下列判断正确的有________．①点O在⊙P外；②点M在⊙P上；③x轴与⊙P相离；④y轴与⊙P相切．【解后感悟】直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r.1．(1)(·张家界)如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心， 半径为3的圆与OA的位置关系是(　　)A．相离B．相交C．相切D．以上三种情况均有可能(2)(·镇江模拟)已知⊙O的半径r＝3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：①若d＞5，则m＝0；②若d＝5，则m＝1；③若1＜d＜5，则m＝3；④若d＝1，则m＝2；⑤若d＜1，则m＝4.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．5类型二　圆的切线性质的运用　(·铜仁)如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E.(1)求证：CB平分∠ACE；(2)若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．【解后感悟】本题运用了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质， 圆周角定理，平行线的判定和性质，连结切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法，正确的作出辅助线是解题关键．2．(1)(·泸州)如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为(　　)A．65°B．130°C．50°D．100°(2)(·随州)如图1，PT与⊙O1相切于点T，PAB与⊙O1相交于A、B两点，可证明△PTA∽△PBT，从而有PT2＝PA·PB.请应用以上结论解决下列问题：如图2，PAB、PCD分别与⊙O2相交于A、B、C、D四点，已知PA＝2，PB＝7，PC＝3，则CD＝　　　　　　　　.类型三　圆的切线判定的运用　(1)(·沈阳模拟)如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是________________．(不添加其他字母和线条)(2)(·杭州市西湖区模拟)如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F.给出以下五个结论：①BD＝DC；②CF＝EF；③＝；④∠A＝2∠FDC；⑤DF是⊙O的切线．其中正确结论的序号是________．【解后感悟】(1)解决本类题目可以是将最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论；(2)解答此题的关键是两个基本图形的公共部分(即点D，E 和直径AB)的运用；在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．3．(·黄石模拟)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E.(1)请说明DE是⊙O的切线；(2)若∠B＝30°，AB＝8，求DE的长．类型四　三角形的内切圆问题　(1)如图，圆D是△ABC的内切圆，∠A＝40°，则∠BDC的度数是________．(2)在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆半径是________． 【解后感悟】①求证三角形内切圆问题时，常用到面积法：S△ABC＝(a＋b＋c)r，其中r为△ABC的内切圆半径，a，b，c为△ABC的三条边的长度；②已知直角三角形的三边长为a，b，c(其中c为斜边)，则其内切圆半径r＝；③解三角形与圆相切问题时，常利用切线长定理及勾股定理等列方程(组)来求半径的长．4．(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF为(　　)A．55°B．60°C．75°D．80°(2)(·滨州)若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为(　　)A.B．2－2C．2－D.－2(3)(·遵义)将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为(　　)A.B.C.D.类型五　圆的综合性问题　如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E.(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值．【解后感悟】 此题运用切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质解题．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用．5．(1)(·永新模拟)如图，以点P(2，0)为圆心，为半径作圆，点M(a，b)是⊙P上的一点，则的最大值是____________________．(2)(·衢州)如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为(－1，0)，半径为1，点P为直线y＝－x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是____________________．【探索研究题】(·河池)我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y＝kx＋4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB＝30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P的个数是(　　)A．6B．8C．10D．12【方法与对策】通过问题中信息，理解整圆的概念，构建半径与点P横坐标之间的关系，建模为二元一次方程整数解的问题．这类定义型阅读理解题是中考热点题型．【直线与圆的位置关系的陷阱】已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是(　　) A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交参考答案第23讲　直线与圆的位置关系【考点概要】2．唯一　半径　垂直于　一个　半径　半径　切点　两　相等　平分　3.同一　外接圆　外心　三个顶点内切圆　内心　三边【考题体验】1．A　2.C　3.B　4.50°【知识引擎】【解析】(1)当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.∴平移的距离为1或5.(2)直线与圆的位置关系；切线的判定和性质．【例题精析】例1　①③④　例2(1)证明：如图1，连结OB，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∵CE⊥AB，∴OB∥CE，∴∠1＝∠3，∵OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴CB平分∠ACE；　(2)如图2，连结BD，∵CE⊥AB，∴∠E＝90°，∴BC＝＝＝5，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠E＝∠DBC，∴△DBC∽△BEC，∴＝，∴BC2＝CD·CE，∴CD＝＝，∴OC＝CD＝，∴⊙O的半径＝.　例3　(1)D为BC中点(答案不唯一)；(2)①②④⑤　例4　(1)110°；(2)1　例5　(1)证明：连结DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB.在△COD和△COB中，∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠CDO＝∠CBO＝90°.又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．　(2)∵△COD≌△COB.∴CD＝CB.∵DE＝2BC，∴ED＝2CD.∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO.∴＝＝. 【变式拓展】1．(1)C　(2)C　2.(1)C　(2)　3.(1)连结OD，则OD＝OB，∴∠B＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠ODB＝∠C.∴OD∥AC.∴∠ODE＝∠DEC＝90°.∴DE是⊙O的切线．　(2)连结AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴BD＝AB·cosB＝8×＝4.又∵AB＝AC，∴CD＝BD＝4，∠C＝∠B＝30°.∴DE＝CD＝2.　4.(1)C　(2)B　(3)B5．(1)　(2)2【热点题型】【分析与解】∵直线l：y＝kx＋4与x轴、y轴分别交于A、B，∴B(0，4)，∴OB＝4，在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，∴OA＝OB＝×4＝12，∵⊙P与l相切，设切点为M，连结PM，则PM⊥AB，∴PM＝PA，设P(x，0)，∴PA＝12－x，∴⊙P的半径PM＝PA＝6－x，∵x为整数，PM为整数，∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6.故选A.【错误警示】当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＝2＝r，⊙O与直线l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2＝r，⊙O与直线l相交，故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．故选D.