2022年中考数学总复习第34讲《归纳、猜想与说理型问题》讲解(含答案)

第34讲　归纳、猜想与说理型问题(建议该讲放第11讲后教学)内容特性所谓归纳、猜想，指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．解题策略解题中要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，得出结论．有时借助图形、实物或实际操作打开思路．解决这类题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明(验证)”，具体做法：(1)认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；(2)根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论；(3)结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性.基本思想观察、分析、归纳、猜想一般，给出一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.类型一　通过数式变化产生规律　(·淄博)(1)填空：(a－b)(a＋b)＝　　　　　　　　；(a－b)(a2＋ab＋b2)＝　　　　　　　　；(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝　　　　　　　　；(2)猜想：(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝　　　　　　　　(其中n为正整数， 且n≥2)；(3)利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.　　　　　　【解后感悟】此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证．对于本题来说，关键是先计算，再观察各等式的结构，猜想结果并验证．对于(3)根据结构特征进行设、列来构建等式求解．1．(1)(·资阳模拟)设一列数中相邻的三个数依次为m、n、p，且满足p＝m2－n，若这列数为－1，3，－2，a，－7，b…，则b＝　　　　　　　　.(2)(·德州模拟)有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第n次运算的结果yn＝　　　　　　　　(用含字母x和n的代数式表示)．类型二　通过图形变化产生规律　(·达州)如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是(　　)A．25B．33C．34D．50【解后感悟】本题通过一次操作，得到下一个图形的三角形个数与上一个图形的三角形个数之间的数量关系是解题的关键．解决这类问题的关键是仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．具体地说，先根据图形写出数字规律，然后将每一个数字改写为等式，再比较各等式的相同点和不同点，分析不同点(数字)与等式序号之间的关系，从而得到一般规律． 2．(·舟山)如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，计算tan∠BA4C＝____________________，…按此规律，写出tan∠BAnC＝____________________(用含n的代数式表示)．类型三　通过平移、折叠产生规律　如图，直角三角形纸片ABC中，AB＝3，AC＝4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn－1Dn－2的中点为Dn－1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn－1重合，折痕与AD交于点Pn(n＞2)，则AP6的长为(　　)A.B.C.D.【解后感悟】此题是翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力．3．如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA＝1，OC＝2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n次(n＞1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为　　　　　　　　(用含n的代数式表示)． 类型四　通过旋转产生规律　(·衢州)如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________，翻滚次后AB中点M经过的路径长为________．【解后感悟】解题的关键是尝试特殊情况，寻找循环规律，从特殊到一般的探究方法解决问题．4．(·东港模拟)如图，点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB1为一边，构造等边△OB1A1(点O，B1，A1按逆时针方向排列)，称为第一次构造；点B2是△OB1A1的两条中线的交点，再以OB2为一边，构造等边△OB2A2(点O，B2，A2按逆时针方向排列)，称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是　　　　　　　　.类型五　以数轴、平面直角坐标系为背景的规律问题　(·菏泽)如图，一段抛物线：y＝－x(x－2)(0≤x≤2)记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P(11，m)在第6段抛物线C6上，则m＝　　　　　　　　.【解后感悟】此题是抛物线其中一段的旋转规律，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标． 5．(1)如图，在数轴上，A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，A2，A3关于点P对称，A3，A4关于点O对称，A4，A5关于点P对称…依此规律，则点A14表示的数是　　　　　　　　.(2)(·达州)在直角坐标系中，直线y＝x＋1与y轴交于点A1，按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2…，A1、A2、A3…在直线y＝x＋1上，点C1、C2、C3、…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…Sn，则Sn的值为____________________(用含n的代数式表示，n为正整数)．【探索研究题】用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则S＝a＋b－1(史称“皮克公式”)．小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：根据图中提供的信息填表：格点多边形各边上的格点的个数格点多边形内部的格点个数格点多边形的面积多边形181 多边形273…………一般格点多边形abS则S与a、b之间的关系为S＝________(用含a、b的代数式表示)．【方法与对策】此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．该题型采用特殊到一般探究问题的方法．是中考命题的一种方式．【探求一般规律，注意序号与变量之间对应关系】如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1(D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上)，再在△A1B1C内按同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形AnBnDnEn的边长是________． 第34讲　归纳、猜想与说理型问题【例题精析】例1　(1)a2－b2，a3－b3，a4－b4；(2)an－bn；(3)令S＝29－28＋27－…＋23－22＋2，∴S－1＝29－28＋27－…＋23－22＋2－1＝[2－(－1)](29－28＋27－…＋23－22＋2－1)÷3＝(210－1)÷3＝(1024－1)÷3＝341，∴S＝342.　例2　∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个；…∴第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝(3n＋1)个；当3n＋1＝100时，解得：n＝33，故选：B.　例3　由题意得，AD＝BC＝，AD1＝AD－DD1＝，AD2＝，AD3＝，…∴ADn＝.故AP1＝，AP2＝，AP3＝…APn＝.∴当n＝6时，AP6＝.故选A.例4　如图作B3E⊥x轴于E，易知OE＝5，B3E＝，∴B3(5，)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M的运动路径为＋＋＝π，∵÷3＝672……1，∴翻滚次后AB中点M经过的路径长为672·π＋π＝π.故答案为(5，)；π.例5　∵y＝－x(x－2)(0≤x≤2)，∴配方可得y＝－(x－1)2＋1(0≤x≤2)，∴顶点坐标为(1，1)，∴A1坐标为(2，0)，∵C2由C1旋转得到，∴OA1＝A1A2，即C2顶点坐标为(3，－1)，A2(4，0)；照此类推可得，C3顶点坐标为(5，1)，A3(6，0)；C4顶点坐标为(7，－1)，A4(8，0)；C5顶点坐标为(9，1)，A5(10，0)；C6顶点坐标为(11，－1)，A6(12，0)；∴m＝－1.故答案为：－1.【变式拓展】1．(1)128　(2)　2.　3.或　4.　5.(1)－25　(2)22n－3【热点题型】【分析与解】根据8＝8＋2(1－1)，11＝7＋2(3－1)得到S＝a＋2(b－1)． 填表如下：格点多边形各边上的格点的个数格点多边形内部的格点个数格点多边形的面积多边形1818多边形27311…………一般格点多边形abS【错误警示】∵∠A＝∠B＝45°，∴AE1＝A1E1＝A1B1＝B1D1＝D1B，∴第一个内接正方形的边长＝AB＝1；同理可得：第二个内接正方形的边长＝A1B1＝AB＝；第三个内接正方形的边长＝A2B2＝AB＝；故可推出第n个小正方形AnBnDnEn的边长＝AB＝，故答案为：.