第6讲 一元一次方程与分式方程及其应用1．一元一次方程及解法考试内容考试要求等式的性质性质1：等式两边加(或减)同一个数或同一个____________________，所得结果仍是等式；性质2：等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是．ab方程的概念含有未知数的叫做方程．方程的解使方程左右两边的值的未知数的值叫做方程的解．一元一次方程的概念只含有个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元一次方程．一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：去分母、去_____________、移项、合并______________、系数化为1.c2.分式方程及解法考试内容考试要求分式方程的概念分母里含有的方程叫做分式方程．a分式方程的解法解分式方程的基本思路是将分式方程转化为______________方程，具体步骤是：(1)去分母，在方程的两边都乘以____________________，化成整式方程；(2)解这个整式方程；c
(3)验根，把整式方程的根代入最简公分母，如果，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．3.列方程解应用题的一般步骤考试内容考试要求列方程解应用题的一般步骤c1.审审清题意和数量关系，弄清题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系．2.设设未知数(可设直接或____________________未知数).3.列根据题意寻找列方程．4.解解方程．5.答检验所求的未知数的值是否符合题意(分式方程既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意)，写出答案．考试内容考试要求基本思想解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，即分式方程整式方程．c基本方法1.分式方程无解有可能是两种情况：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程有解，但整式方程的解使最简公分母为0，分式方程也无解.2.列方程的关键是寻找等量关系，寻找等量关系常用的方法有：①抓住不变量；②找关键词；③画线段图或列表格；④运用数学公式．1．(·杭州)已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2
倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，则可列方程为( ) A．518＝2(106＋x)B．518－x＝2×106C．518－x＝2(106＋x)D．518＋x＝2(106－x)2．(·宁波)分式方程＝的解是____________________．3．(·温州)甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：____________________.4．(·金华)解分式方程：＝. 【问题】给出以下五个代数式：2x－4，x－2，x，，3.(1)选取其中的几个代数式，组成一个一元一次方程和一个分式方程；(2)解出(1)中所选的一元一次方程和分式方程．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理一元一次方程和分式方程的概念，以及它们的解法．类型一 等式性质和方程的解的含义 (1)(·杭州)设x，y，c是实数，( ) A．若x＝y，则x＋c＝y－c
B．若x＝y，则xc＝ycC．若x＝y，则＝D．若＝，则2x＝3y(2)已知关于x的方程2x＋a－9＝0的解是x＝2，则a＝________.(3)已知关于x的方程＝2的解是负数，则n的取值范围为______________．【解后感悟】(1)熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键；(2)本题利用方程的思想，通过方程的解来构造关于a的一元一次方程，求出a值；(3)本题是分式方程的解和解一元一次不等式，关键是得出n－2＜0和n－2≠－，注意题目中的隐含条件2x＋1≠0不要忽略．1．(1)已知等式3a＝2b＋5，则下列等式中不一定成立的是( ) A．3a－5＝2bB．3a＋1＝2b＋6C．3ac＝2bc＋5D．a＝b＋(2)如果方程x＋2＝0与方程2x－a＝0的解相同，那么a＝____________________．(3)(·成都)已知x＝3是分式方程－＝2的解，那么实数k的值为( )A．－1B．0C．1D．2类型二 一元一次方程的解法 解方程：x－＝2－.【解后感悟】(1)去分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项(尤其是常数项)，若分子是多项式，则要把它看成一个整体加上括号；(2)去括号可用分配律，注意符号，勿漏乘．2．解方程：(1)(·贺州)解方程：－＝5；
(2)7x－＝(x－1)． 类型三 分式方程的解法 (·营口)若关于x的分式方程＋＝2有增根，则m的值是( )A．m＝－1 B．m＝0C．m＝3D．m＝0或m＝3【解后感悟】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程：③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． (1)(·湖州)解方程：＝＋1；(2)(·陕西模拟)解方程：＝－2.【解后感悟】解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．3．解分式方程：(1)＝＋3；
(2)－＝1. 类型四 一元一次方程和分式方程的应用 (·宁波)宁波火车站北广场将于年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．(1)A，B两种花木的数量分别是多少棵？(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？【解后感悟】此题主要考查了分式方程的应用，此题关键是正确理解题意，找到合适的等量关系，列出方程．注意不要忘记检验．4．(·黄冈)黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用5000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？ 【探索规律题】一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式拼接．
(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？(2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？ 【方法与对策】根据寻找的规律，每增加1张这样的餐桌可增加4人求解即可．这是探索规律题(图形的变化类)，并利用方程思想来解决．它是中考热点题之一．【解分式方程去分母时，漏乘整式项，忘记验根】解分式方程：＋1＝.参考答案第6讲 一元一次方程与分式方程及其应用【考点概要】1．整式 等式 等式 相等 一 1 括号 同类项 2.
未知数 整式 最简公分母 不为0 3.间接 等量关系【考题体验】1．C 2.x＝1 3.＝ 4.x＝3【知识引擎】【解析】(1)答案不唯一，2x－4＝3和＝；(2)2x－4＝3，解得x＝3.5；＝，解得x＝2，代入方程x＝2是方程的增根，舍去，所以，方程无解．【例题精析】例1 (1)B；(2)5；(3)解方程＝2得x＝n－2.∵关于x的方程＝2的解是负数，∴n－2＜0.解得：n＜2.又∵原方程有意义的条件为：x≠－，∴n－2≠－，即n≠.∴n＜2且n≠. 例2 6x－3(x－1)＝12－2(x＋2)，6x－3x＋3＝12－2x－4，3x＋3＝8－2x，3x＋2x＝8－3，5x＝5，∴x＝1. 例3 方程两边都乘以(x－3)得，2－x－m＝2(x－3)，∵分式方程有增根，∴x－3＝0，解得x＝3，∴2－3－m＝2(3－3)，解得m＝－1.故选A. 例4 (1)方程两边都乘以x－1得：2＝1＋x－1，解得：x＝2，检验：∵当x＝2时，x－1≠0，∴x＝2是原方程的解，即原方程的解为x＝2. (2)方程的两边同乘(x－3)，得：2－x＝－1－2(x－3)，解得：x＝3，检验：把x＝3代入(x－3)＝0，即x＝3不是原分式方程的解．则原方程无解． 例5 (1)设B花木数量为x棵，则A花木数量是(2x－600)棵，由题意得：x＋2x－600＝6600，解得：x＝2400，2x－600＝4200，答：B花木数量为2400棵，则A花木数量是4200棵； (2)设安排a人种植A花木，由题意得：＝，解得：a＝14，经检验：a＝14是原分式方程的解，26－a＝26－14＝12，答：安排14人种植A花木，12人种植B花木．【变式拓展】1．(1)C (2)－4 (3)D 2.(1)x＝30； (2)x＝－.3.(1)解得x＝3，经检验x＝3是增根，分式方程无解.(2)x＝－3. 4.设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为(x＋5)元．根据题意，得＝.解得x＝.经检验，x＝是原方程的解，且符合题意，则科普类图书平均每本的价格为＋5＝元，答：文学类图书平均每本的价格为元，
科普类图书平均每本的价格为元．【热点题型】【分析与解】(1)寻找规律：1张这样的餐桌四周可坐6人，2张这样的餐桌拼接起来四周可坐6＋4人，3张这样的餐桌拼接起来四周可坐6＋4×2人，4张这样的餐桌拼接起来四周可坐6＋4×3人，…n张这样的餐桌拼接起来四周可坐6＋4(n－1)人．∴4张这样的餐桌拼接起来四周可坐18人，8张这样的餐桌拼接起来四周可坐34人．(2)∵n张这样的餐桌拼接起来四周可坐6＋4(n－1)人，∴若用餐的人数有90人，则6＋4(n－1)＝90，解得n＝22.∴若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要22张．【错误警示】原方程变形为＋1＝.方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得x2－4x＋(x＋1)(x－1)＝2x(x－1)．整理得x2－4x＋x2－1＝2x2－2x，即2x＝－1，x＝－.检验：当x＝－时，(x＋1)(x－1)≠0，所以x＝－是原方程的根．
微信/支付宝扫码支付