2022年中考数学总复习第4讲《分式及其运算》讲解(含答案)

第4讲　分式及其运算1．分式的概念考试内容考试要求分式概念形如(A、B是整式，且B中含有，且B≠0)的式子叫做分式．a有意义的条件分母不为0.值为零的条件分子为0，且分母不为02.分式的基本性质考试内容考试要求分式的基本性质＝，＝(M是不为零的整式)．c约分把分式的分子和分母中的约去，叫做分式的约分．通分根据分式的，把异分母的分式化为分式，这一过程叫做分式的通分．3.分式的运算考试内容考试要求分式的乘除法·＝，÷＝·＝.c分式的乘方()n＝(n为整数)． 分式的加减法±＝，±＝.分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．遇到有括号，先算括号里面的．考试内容考试要求基本方法1.乘方时一定要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负．c2.在分式的加减运算中，如需要通分时，一定要先把分母可以分解因式的多项式分解因式后再找最简公分母，分式的乘除运算中，需要约分时，也要先把可以分解因式的多项式分解因式再约分．3.分式求值：可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化和沟通．主要有以下技巧：①整体代入法；②参数法；③平方法；④代入法；⑤倒数法．1．(·丽水)分式－可变形为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．－B.C．－D.2．(·台州)化简的结果是(　　)A．－1B．1C.D.3．(·湖州)要使分式有意义，x的取值应满足______________________________．4．(·舟山)若分式的值为0，则x的值为____________________．5．(·湖州)计算：－. 【问题】(1)从三个代数式：①a2－2ab＋b2，②3a－3b，③a2－b2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a＝6，b＝3时该分式的值．(2)通过对(1)的解答，你能想到与分式相关的哪些信息．　　　　　　　　【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理分式概念，以及分式相关的性质，探究分式化简方法．类型一　分式的概念　分式.(1)若分式有意义，则x的取值范围是________；(2)若分式的值为0，则x的值为________；(3)把分式化为最简分式________．【解后感悟】分式有意义，首先求出使分母等于0的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义；分式的值为0的条件是：首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值；化为最简分式是分母、分子因式分解，再约分．1．已知分式，若分式无意义，则x的取值范围是____________________；若分式的值为零，则x＝____________________.2．(·滨州)下列分式中，最简分式是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.B.C.D. 类型二　分式的约分和通分　计算：(1)(·淄博)＝________；(2)＋＝________；(3)－＝________；(4)1－a－＝________.【解后感悟】分式化简关键是约分，约分的关键是找公因式，若分子和分母有多项式，先将其因式分解，然后将相同的因式约去即可．分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．3．(1)(·丽水)＋的运算结果正确的是(　　)A.B.C.D．a＋b(2)(·绍兴)化简＋的结果是(　　)A．x＋1B.C．x－1D.(3)若a、b都是正实数，且－＝，则＝____________________.(4)(·荆州)当a＝＋1，b＝－1时，代数式的值是　　　　　　　　.(5)(·台州)先化简，再求值：－，其中a＝－1.　　　　　　　　类型三　分式的运算与求值　(1)(·内江)化简：÷＝________.(2)(·黄冈)化简：÷＝________.(3)(·衢州)先化简，再求值：(x2－9)÷，其中x＝－1. (4)先化简，再求值：÷，其中x满足x2＋x－2＝0.【解后感悟】(1)解决这类题关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．(2)熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．化简求值题要将原式化为最简后再代值，从求出x的两个数中选一个数代入求值，但要注意分式成立的条件．4．(·成都)化简：(＋)÷.　　　　　　　　5．先化简，再求值：÷＋1，在0，1，2，三个数中选一个合适的，代入求值．　　　　　　　　类型四　与分式有关的变形和应用　观察下列等式：第1个等式：a1＝＝×(1－)； 第2个等式：a2＝＝×(－)；第3个等式：a3＝＝×(－)；第4个等式：a4＝＝×(－)；…请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝______＝______；(2)用含有n的代数式表示第n个等式：an＝________＝________(n为正整数)；(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．【解后感悟】本题是数字变化规律，要求首先分析题意，通过观察、分类归纳、抽象出数列的规律，并进行推导得出答案．6．(1)如图，设k＝(a＞b＞0)，则有(　　　　　　　　)A．k＞2B．1＜k＜2C.＜k＜1D．0＜k＜(2)一种商品原来的销售利润率是47%.现在由于进价提高了5%，而售价没变， 所以该商品的销售利润率变成了____________________%.【注：销售利润率＝(售价－进价)÷进价】．【探索规律题】(·巴中)a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为＝－1；－1的差倒数是＝；已知a1＝－，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数．a4是a3的差倒数，…依此类推，则a＝________．【方法与对策】此题是找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找出规律是解题的关键，该题型是中考的热点．【分式的分母不能为零，除数不能为零】分式的值是0，则x的值为________．参考答案第4讲　分式及其运算【考点概要】1．字母　2.公因式　基本性质　同分母【考题体验】1．D　2.D　3.x≠2　4.2　5.a＋b.【知识引擎】 【解析】(1)答案不唯一．选取①、②得＝＝，当a＝6，b＝3时，原式＝＝1(有6种情况)．　(2)分式概念、运算法则，注意点等．【例题精析】例1　(1)x≠±3；(2)无解；(3).　例2　(1)1－2a；(2)1；(3)；(4)　例3　(1)a；(2)；(3)原式＝(x＋3)(x－3)·＝x(x＋3)＝x2＋3x，当x＝－1时，原式＝(－1)2＋3×(－1)＝－2；(4)原式＝·＝·＝.由x2＋x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝1，∵x≠1，∴当x＝－2时，原式＝＝.　例4　(1)，×(－)；(2)，×(－)．(3)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100＝×(1－)＋×(－)＋×(－)＋…＋×(－)＝×＝×＝×＝.【变式拓展】1．x＝2　－2　2.A　3.(1)C　(2)A　(3)－(4)　(5)，.　4..　5..当x＝1时，原式＝.　6.(1)B　(2)40【热点题型】【分析与解】a1＝－，a2是a1的差倒数，即a2＝＝，a3是a2的差倒数，即a3＝＝3，a4是a3的差倒数，即a4＝＝－，…依此类推，∵÷3＝671……2，∴ a＝a2＝.故答案为：.【错误警示】当＝0时，x2－4＝0且x2－x－2≠0，∴x＝－2.故答案为－2.