2022年中考数学总复习第3讲《因式分解》讲解(含答案)

第3讲　因式分解因式分解考试内容考试要求定义把一个多项式化成几个整式的形式，就是因式分解．a方法提公因式法ma＋mb＋mc＝____________________.c公式法a2－b2＝____________________；a2±2ab＋b2＝．步骤1.若有公因式，应先____________________；2．看是否可用____________________；3．检查各因式能否继续分解．考试内容考试要求基本方法1.因式分解与整式乘法是互逆运算．c2.因式分解时，要先观察、分析已知式的结构特征，而后再灵活选用方法的解题习惯．1．(·台州)把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．2(x2－8)B．2(x－2)2C．2(x＋2)(x－2)D．2x(x－)2．(·台州)因式分解：x2＋6x＝____________________.3．(·金华)分解因式：x2－4＝____________________. 4．(·绍兴)分解因式：a3－9a＝　　　　　　　　.【问题】给出三个多项式：x2＋x－1，x2＋3x＋1，x2－x.(1)请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式．(2)结合以上解题的体验，回答因式分解有哪些方法，一般步骤怎样？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止．类型一　因式分解的意义　下列式子从左到右变形是因式分解的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25【解后感悟】此题主要考查因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．1．下面的多项式中，能因式分解的是(　　)A．m2＋n　　B．m2－m＋1C．m2－n　　　D．m2－2m＋12．(·滨州)把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是(　　)A．a＝2，b＝3B．a＝－2，b＝－3C．a＝－2，b＝3D．a＝2，b＝－3类型二　因式分解的几何性　如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是____________________________． 【解后感悟】利用图形的面积来解释代数式的恒等变形，这是数形结合思想的应用，是我们学习过程中，常见的列等量关系的依据．3．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式____________________．类型三　因式分解的方法　分解因式：(1)(·绍兴)x2y－y＝__________．(2)(·安徽模拟)ax2－6ax＋9a＝________．(3)(x－1)2－9＝________．(4)(·荆门)(m＋1)(m－9)＋8m＝________．【解后感悟】多项式分解因式有公因式首先提取公因式，然后再用公式法或其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．第(4)题利用多项式的乘法运算法则展开整理成一般多项式是解题的关键．4．因式分解：(1)(·温州)m2＋4m＝____________________.(2)(·丽水)9－x2＝____________________．(3)a3－4a＝____________________.(4)(·杭州市江干区模拟)a3b－2a2b＋ab＝____________________.(5)(·南京)(a－b)(a－4b)＋ab＝____________________．类型四　因式分解的应用　(1)已知a＋b＝2，ab＝1，则a2b＋ab2的值为________；(2)已知x2－2x－3＝0，则2x2－4x的值为________． 【解后感悟】此题是因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．5．(1)(·衡阳)已知a＋b＝3，a－b＝－1，则a2－b2的值为____________________．(2)(·盐城)若2m－n2＝4，则代数式10＋4m－2n2的值为____________________．6．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是(x＋3)，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为(x＋n)，得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，∴.解得：n＝－7，m＝－21，∴另一个因式为(x－7)，m的值为－21.问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2＋3x－k有一个因式是(2x－5)，求另一个因式以及k的值．　　　　　　　　【阅读理解题】阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：(1)am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)；(2)x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝x2－(y＋1)2＝(x＋y＋1)(x－y－1)．试用上述方法分解因式a2＋2ab＋ac＋bc＋b2＝________．【方法与对策】(1)当某项正好为公因式时，提取公因式后，该项应为1，不可漏掉；(2)首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正；(3)公因式也可以是多项式．该题型是中考命题方向．【忽视提系数的最大公约数、分解不彻底】因式分解：(1)a3－16a；　(2)4x2－16y2. 参考答案第3讲　因式分解【考点概要】乘积　m(a＋b＋c)　(a＋b)(a－b)　(a±b)2　提公因式　公式法【考题体验】1．C　2.x(x＋6)　3.(x＋2)(x－2)　4.a(a＋3)(a－3)【知识引擎】【解析】(1)(x2＋x－1)＋(x2＋3x＋1)＝x2＋4x＝x(x＋4)；(x2＋x－1)＋(x2－x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)；(x2＋3x＋1)＋(x2－x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2；(2)因式分解的方法：①提公因式法；②公式法．因式分解的步骤：一提、二套、三查．【例题精析】例1　B　例2　a2－b2＝(a＋b)(a－b)．　例3　(1)y(x＋1)(x－1)；(2)a(x－3)2；(3)(x＋2)(x－4)；(4)(m＋3)(m－3)．例4　(1)2；(2)6.【变式拓展】1．D　2.B　3.a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2　4.(1)m(m＋4)(2)(3＋x)(3－x)　(3)a(a＋2)(a－2)　(4)ab(a－1)2(5)(a－2b)2　5.(1)－3　(2)18　6.设另一个因式为(x＋a)，得2x2＋3x－k＝(2x－5)(x＋a)，则2x2＋3x－k＝2x2＋(2a－5)x－5a，∴，解得：a＝4，k＝20，故另一个因式为(x＋4)，k的值为20.【热点题型】【分析与解】原式＝(a2＋2ab＋b2)＋(ac＋bc)＝(a＋b)2＋c(a＋b)＝(a＋b)(a＋b＋c)．【错误警示】(1)a(a＋4)(a－4)；　(2)4(x＋2y)(x－2y)．