2022年中考数学总复习第5讲《二次根式及其运算》讲解(含答案)

第5讲　二次根式及其运算1．二次根式的有关概念考试内容考试要求二次根式一般地，形如()的式子叫做二次根式．a最简二次根式必须同时满足：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号)．2.二次根式的性质考试内容考试要求两个重要的性质()2＝a(a____________________)；＝|a|＝a积的算术平方根＝·(a≥0，b≥0)．商的算术平方根＝(a≥0，b>0)．3.二次根式的运算考试内容考试要求二次根式的加减先将各根式化为，然后合并被开方数的二次根式．b二次根式的乘法·＝(a≥0，b≥0)．二次根式的除法＝(a≥0，b＞0)． 二次根式的混合运算与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号)．考试内容考试要求基本方法1.整式运算法则也适用于二次根式的运算．c2.估算一个根号表示的无理数可用“逐步逼近”的方法，即首先找出与该数邻近的两个完全平方数，可估算出该无理数的整数部分，然后再取一位小数进一步估算即可．3.绝对值：|a|；偶次幂：a2n；非负数的算术平方根：(a≥0)是常见的三种非负数形式．非负数具有以下两条重要性质：①非负数形式有最小值为零；②几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零．1．(·湖州)4的算术平方根是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．±2B．2C．－2D.2．(·宁波)要使二次根式有意义，则x的取值范围是(　　)A．x≠3B．x＞3C．x≤3D．x≥33．(·杭州)下列各式变形中，正确的是(　　)A．x2·x3＝x6B.＝|x|C.÷x＝x－1D．x2－x＋1＝＋4．(·宁波)实数－8的立方根是____________________．5．(·湖州)计算：2×(1－)＋.　　　　　　　　 【问题】下列各式已给出计算结果：①－＝；　②＝－3；③×＝；　④÷＝4(1)其中正确的是____________；(2)对于错误的结果，请给出正确答案；(3)通过以上的解答，联想二次根式有哪些性质、运算法则？　【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质和运算法则，以及注意的问题．类型一　平方根、算术平方根、立方根　(1)(·黄冈)9的平方根是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．±3B．±C．3D．－3(2)(·黄冈)16的算术平方根是________．(3)(·宁波)实数－27的立方根是________．【解后感悟】一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；注意算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误；开立方和立方互为逆运算是解题的关键．1．(1)(·唐山模拟)下列式子中，计算正确的是(　　)A．－＝－0.6B.＝－13C.＝±6D．－＝－3(2)如果一个正数的两个平方根为a＋1和2a－7，则这个数为____________________． 类型二　二次根式的有关概念与性质　(1)式子有意义的x的取值范围是________；(2)(·邵阳模拟)将化成最简二次根式是________．(3)计算：＝________.【解后感悟】(1)此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零列不等式组，转化为求不等式组的解集．(2)此题根据二次根式的性质化简，是解本题的关键．2．(1)(·荆州)下列根式是最简二次根式的是(　　)A.B.C.D.(2)k、m、n为三个整数，若＝k，＝15，＝6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确(　　)A．k＜m＝nB．m＝n＜kC．m＜n＜kD．m＜k＜n(3)(·金华)能够说明“＝x不成立”的x的值是____________________(写出一个即可)．(4)若实数a、b满足＋＝0，则＝____________________.(5)若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是____________________(只需填一个)．类型三　二次根式的运算与求值　(1)(·滨州)下列计算：(1)()2＝2，(2)＝2，(3)(－2)2＝12，(4)(＋)(－)＝－1，其中结果正确的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4(2)计算：－3＋＝______；(3)化简：(－)－－|－3|＝________.【解后感悟】(1)二次根式的加减运算，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并；(2)二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 3．(1)下列计算正确的是(　　)A．4－3＝1B.＋＝C．2＝D．3＋2＝5(2)算式(＋×)×之值为(　　)A．2B．12C．12D．184．(1)计算(－3)·(＋3)＝____________________；(2)(·聊城)计算：·÷＝　　　　　　　　.类型四　二次根式的大小比较　已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋，乙＝3＋，丙＝1＋，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确(　　)A．丙＜乙＜甲B．乙＜甲＜丙C．甲＜乙＜丙D．甲＝乙＝丙【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．5．(1)(·河北)在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在(　　)A．段①B．段②C．段③D．段④(2)(·杭州)若k＜＜k＋1(k是整数)，则k＝(　　)A．6B．7C．8D．9(3)(·白银)估计与0.5的大小关系是：____________________0.5.(填“＞”、“＝”、“＜”)类型五　二次根式的综合型问题　(1)已知实数x，y满足＋＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________． (2)在日常生活中，取款、上网都需要密码，有的人把自己的出生年月作为密码，有的人把生活中的重要数字或自己认为吉利的数字作为密码，这样很容易被知情人窃用．有一种用二次根式法产生的密码，如：对于二次根式，计算的结果是11，取被开方数和计算结果，再在中间加一个数字0，于是就得到一个六个数字的密码“121011”．对于二次根式，用上述方法产生的密码是________．【解后感悟】常见的非负数有三种形式：|a|，，a2；若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．6．(1)矩形相邻两边长分别为，，则它的周长是____________________，面积是____________________．(2)观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，…，那么第10个数据应是____________________．(3)若y＝＋＋x3，则10x＋2y的平方根为____________________．7．已知x＝＋1，y＝－1，求下列各式的值：(1)x2＋2xy＋y2；　(2)x2－y2.　　　　　　　　【探索规律题】如图，以O(0，0)、A(2，0)为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是________．【方法与对策】根据O(0，0)，A(2，0)为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中点B为顶点作△P1BP2，再以P2和P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．本题由特殊到一般的规律解题是关键，这类题型是中考的热点． 【二次根式的化简符号不明确】下列各式中，正确的是(　　)A.＝－3　B．－＝－3C.＝±3　D.＝±3参考答案第5讲　二次根式及其运算【考点概要】1．a≥0　2.≥0　a　－a　3.最简二次根式　相同　　　乘除 【考题体验】1．B　2.D　3.B　4.－2　5.原式＝2－2＋2＝2.【知识引擎】【解析】(1)③；　(2)①－＝，②＝3，④÷＝2；　(3)主要从二次根式性质、运算法则方面去思考．【例题精析】例1　(1)A；(2)4；(3)－3　例2　(1)根据题意得，2x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－且x≠1.(2)3；(3)－1.　例3　(1)D；(2)原式＝2－＋＝，故答案为：；(3)(－)－－|－3|＝－3－2－(3－)＝－6.故答案为：－6.例4　∵3＝