(通用版)中考数学一轮复习3.5.2《二次函数与几何图形综合》精选练习卷(含答案)

课时2　二次函数与几何图形综合姓名：________　班级：________　限时：______分钟角度问题1．如图，已知顶点为C(0，－3)的抛物线y＝ax2＋b(a≠0)与x轴交于A、B两点，直线y＝x＋m过顶点C和点B.(1)求m的值；(2)求函数y＝ax2＋b(a≠0)的解析式；(3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(1，0)．已知抛物线y＝x2＋mx－2m(m是常数)．顶点为P.(Ⅰ)当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；(Ⅱ)若点P在x轴下方，当∠AOP＝45°时，求抛物线对应的函数解析式；(Ⅲ)无论m取何值，该抛物线都经过定点H，当∠AHP＝45°时，求抛物线对应的函数解析式． 面积问题3．已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；(2)设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．4．已知抛物线L：y＝x2＋x－6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，并与y轴相交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；(2)将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A′、B′两点(点A′在点B′的左侧)，并与y轴相交于点C′，要使△A′B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式． 5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋t－1，t＜0.(1)当t＝－2时，①若二次函数图象经过点(1，－4)，(－1，0)，求a，b的值；②若2a－b＝1，对于任意不为零的实数a，是否存在一条直线y＝kx＋p(k≠0)，始终与函数图象交于不同的两点？若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由．(2)若点A(－1，t)，B(m，t－n)(m＞0，n＞0)是二次函数图象上的两点，且S△AOB＝n－2t，当－1≤x≤m时，点A是该函数图象的最高点，求a的取值范围． 特殊三角形存在性问题6．综合与探究如图，抛物线y＝x2－x－4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F.(1)求A，B，C三点的坐标；(2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值． 7．如图，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－5经过点B，C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P(不与点B，C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．第7题图备用图 8．已知：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B(－3，0)，顶点为C(－1，－2)．(Ⅰ)求该二次函数的解析式；(Ⅱ)如图，过A，C两点作直线，并将线段AC沿该直线向上平移，记点A，C分别平移到点D，E处，若点F在这个二次函数的图象上，且△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；(Ⅲ)试确定实数p，q的值，使得当p≤x≤q时，p≤y≤. 参考答案1．解：(1)将(0，－3)代入y＝x＋m，得m＝－3.(2)将y＝0代入y＝x－3，得x＝3.∴B(3，0)．将(0，－3)，(3，0)分别代入y＝ax2＋b，得，解得∴y＝x2－3.(3)存在，分以下两种情况：①若M在BC上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC＝45°＋15°＝60°.∴OD＝OC·tan30°＝.设直线DC为y＝kx－3，代入(，0)，得k＝.联立方程组解得∴M1(3，6)．②若M在BC下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC＝45°－15°＝30°，∴OE＝OC·tan60°＝3.设直线EC为y＝kx－3，代入(3，0)，得k＝.联立方程组解得∴M2(，－2)．综上所述，M的坐标为(3，6)或(，－2)．2．解：(Ⅰ)∵抛物线y＝x2＋mx－2m经过点A(1，0)，∴0＝1＋m－2m，解得m＝1.∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2＋x－2. ∵化为顶点式为y＝(x＋)2－.∴顶点P的坐标为(－，－)．(Ⅱ)抛物线y＝x2＋mx－2m的顶点P的坐标为(－，－)．由点A(1，0)在x轴正半轴上，点P在x轴下方，∠AOP＝45°，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则∠POQ＝∠OPQ＝45°，可知PQ＝OQ，即＝－，解得m1＝0，m2＝－10.当m＝0时，点P不在第四象限，舍去．∴m＝－10.∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2－10x＋20.(Ⅲ)由y＝x2＋mx－2m＝(x－2)m＋x2可知，当x＝2时，无论m取何值，y都等于4.得点H的坐标为(2，4)．过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D，H作x轴的垂线，垂足分别为E，G，则∠DEA＝∠AGH＝90°，∵∠DAH＝90°，∠AHD＝45°，∴∠ADH＝45°，∴AH＝AD.∵∠DAE＋∠HAG＝∠AHG＋∠HAG＝90°，∴∠DAE＝∠AHG.∴△ADE≌△HAG.∴DE＝AG＝1，AE＝HG＝4.可得点D的坐标为(－3，1)或(5，－1)．①当点D的坐标为(－3，1)时，可得直线DH的解析式为y＝x＋. ∵点P(－，－)在直线y＝x＋上，∴－＝×(－)＋，解得m1＝－4，m2＝－.　当m＝－4时，点P与点H重合，不符合题意，∴m＝－.②当点D的坐标为(5，－1)时，可得直线DH的解析式为y＝－x＋.∵点P(－，－)在直线y＝－x＋上，∴－＝－×(－)＋，解得m1＝－4(舍)，m2＝－.∴m＝－.综上，m＝－或－.故抛物线解析式为y＝x2－x＋或y＝x2－x＋.3．(1)证明：联立化简可得：x2－(4＋k)x－1＝0，∵Δ＝(4＋k)2＋4＞0， ∴直线l与该抛物线总有两个交点；(2)解：当k＝－2时，∴y＝－2x＋1，过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E，如解图．∴联立解得：或∴A(1－，2－1)，B(1＋，－1－2)．∴AF＝2－1，BE＝1＋2.易求得：直线y＝－2x＋1与x轴的交点C为(，0)．∴OC＝.∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝OC·AF＋OC·BE＝OC(AF＋BE)＝××(2－1＋1＋2)＝.4．解：(1)令y＝0，得x2＋x－6＝0.解得x＝－3或x＝2.∴A(－3，0)，B(2，0)．令x＝0，得y＝－6. ∴C(0，－6)．∴AB＝5，OC＝6.∴S△ABC＝AB·OC＝×5×6＝15.(2)由题意，得A′B′＝AB＝5.要使S△A′B′C′＝S△ABC，只要抛物线L′与y轴交点为C′(0，－6)或C′(0，6)即可．设所求抛物线L′：y＝x2＋mx＋6，y＝x2＋nx－6.又知，抛物线L′与抛物线L的顶点纵坐标相同，∴＝，＝.解得m＝±7，n＝±1(n＝1舍去)．∴抛物线L′：y＝x2＋7x＋6，y＝x2－7x＋6或y＝x2－x－6.5．解：(1)①当t＝－2时，二次函数为y＝ax2＋bx－3.把(1，－4)，(－1，0)分别代入y＝ax2＋bx－3，得解得即a＝1，b＝－2.②解法一：∵2a－b＝1，∴二次函数为y＝ax2＋(2a－1)x－3.∵当x＝－2时，y＝－1；当x＝0时，y＝－3.∴二次函数图象一定经过点(－2，－1)，(0，－3)．因为经过这两点的直线的表达式为y＝kx＋p(k≠0)，所以把(－2，－1)，(0，－3)分别代入，可求得该直线表达式为y＝－x－3.即直线y＝－x－3始终与二次函数图象交于(－2，－1)，(0，－3)两点．解法二：当直线与二次函数图象相交时，有kx＋p＝ax2＋(2a－1)x－3.整理可得ax2＋(2a－k－1)x－3－p＝0.可得Δ＝(2a－k－1)2＋4a(3＋p)． 若直线与二次函数图象始终有两个不同的交点，则Δ＞0.化简可得4a2－4a(k－p－2)＋(1＋k)2＞0.∵无论a取任意不为零的实数，总有4a2＞0，(1＋k)2≥0，∴当k－p－2＝0时，总有Δ＞0.可取p＝1，k＝3.对于任意不为零的实数a，存在直线y＝3x＋1始终与函数图象交于不同的两点．(2)把A(－1，t)代入y＝ax2＋bx＋t－1，可得b＝a－1.∵A(－1，t)，B(m，t－n)(m＞0，n＞0)，则直线AB的解析式为y＝－(x＋1)＋t，令x＝0，解得y＝－＋t＜0，则S△AOB＝×(－t＋)(m＋1)，又∵S△AOB＝n－2t，∴×(－mt－t＋n)＝n－2t，解得m＝3.∴A(－1，t)，B(3，t－n)．∵n＞0，所以t＞t－n.①当a＞0时，二次函数图象的顶点为最低点，当－1≤x≤3时，若点A为该函数图象最高点，则yA≥yB，分别把A(－1，t)，B(3，t－n)代入y＝ax2＋bx＋t－1，得t＝a－b＋t－1，t－n＝9a＋3b＋t－1.∵t＞t－n，∴a－b＋t－1＞9a＋3b＋t－1.可得2a＋b＜0.即2a＋(a－1)＜0. 解得a＜.所以0＜a＜.②当a＜0时，由t＞t－n，可知若A，B在对称轴的异侧，当－1≤x≤3时，图象的最高点是抛物线的顶点而不是点A；若A，B在对称轴的左侧，因为当x≤－时，y随x的增大而增大，所以当－1≤x≤3时，点A为该函数图象最低点；若A、B在对称轴的右侧，∵当≥－时，y随x的增大而减小，∴当－1≤x≤3时，点A为该函数图象最高点，则－≤－1.即－≤－1.解得a≥－1.所以－1≤a＜0.综上，0＜a＜或－1≤a＜0.6.解：(1)由y＝0，得x2－x－4＝0.解，得x1＝－3，x2＝4.∴点A，B的坐标分别为A(－3，0)，B(4，0)．由x＝0，得y＝－4，∴点C的坐标为C(0，－4)．(2)Q1(，－4)，Q2(1，－3)．(3)过点F作FG⊥PQ于点G，则FG∥x轴，由B(4，0)，C(0，－4)，得△OBC为等腰直角三角形．∴∠OBC＝∠QFG＝45°，∴GQ＝FG＝FQ.∵PE∥AC，∴∠1＝∠2. ∵FG∥x轴，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∵∠FGP＝∠AOC＝90°，∴△FGP∽△AOC.∴＝，即＝.∴GP＝FG＝×FQ＝FQ.∴QP＝GQ＋GP＝FQ＋FQ＝FQ.∴FQ＝QP.∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，∠MBQ＝45°，∴QM＝MB＝4－m，PM＝－m2＋m＋4.∴QP＝PM－QM＝－m2＋m＋4－(4－m)＝－m2＋m.∴QF＝QP＝(－m2＋m)＝－m2＋m.∵－＜0，∴QF有最大值．且当m＝－＝2时，QF有最大值．7．解：(1)∵直线y＝x－5交x轴于点B，交y轴于点C，∴B(5，0)，C(0，－5)．∵抛物线y＝ax2＋6x＋c过点B，C，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋6x－5. (2)①∵OB＝OC＝5，∠BOC＝90°，∴∠ABC＝45°.∵抛物线y＝－x2＋6x－5交x轴于A，B两点，∴A(1，0)，∴AB＝4.∵AM⊥BC，∴AM＝2，∵PQ∥AM，∴PQ⊥BC，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则PQ＝AM＝2，过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D，则∠PDQ＝45°，∴PD＝PQ＝4.设P(m，－m2＋6m－5)，则D(m，m－5)．分两种情况讨论如下：(ⅰ)当点P在直线BC上方时，PD＝－m2＋6m－5－(m－5)＝－m2＋5m＝4，∴m1＝1(舍去)，m2＝4.(ⅱ)当点P在直线BC下方时，PD＝m－5－(－m2＋6m－5)＝m2－5m＝4，∴m3＝，m4＝.综上，点P的横坐标为4或或.②M(，－)或(，－)．8．解：(Ⅰ)∵二次函数的顶点为C(－1，－2)，∴设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2－2.把B(－3，0)代入得a(－3＋1)2－2＝0， 解得a＝.∴二次函数的解析式为y＝(x＋1)2－2.(Ⅱ)由(x＋1)2－2＝0得x1＝－3，x2＝1，∴点A(1，0)．过点C作CH⊥x轴于点H，如解图，∵点C(－1，－2)，∴CH＝2，OH＝1，又∵AO＝1，∴AH＝2＝CH，∴∠1＝45°，AC＝＝2.在等腰Rt△DEF中，DE＝DF＝AC＝2，∠FDE＝90°，∴∠2＝45°，EF＝＝4，∴∠1＝∠2，∴EF∥CH∥y轴．由A(1，0)，C(－1，－2)可求得直线AC对应的函数解析式为y＝x－1.由题意设点F(其中m＞1)，则点E(m，m－1)，∴EF＝－(m－1)＝m2－＝4，解得m1＝3，m2＝－3(舍去)．∴点F(3，6)，(Ⅲ)当y＝时，(x＋1)2－2＝，解得x1＝－4，x2＝2. 抛物线y＝(x＋1)2－2，根据抛物线的性质可知，当x＜－1时，y随x的增大而减小，当x＞－1时，y随x的增大而增大，当x＝－1时，y的最小值为－2.∵p≤x≤q，p≤y≤，∴可分三种情况讨论．①当p≤q≤－1时，由增减性得：当x＝p＝－4时，y最大＝，当x＝q时，y最小＝p＝－4＜－2，不合题意，舍去；②当p＜－1≤q时，(i)若(－1)－p＞q－(－1)，由增减性得：当x＝p＝－4时，y最大＝，当x＝－1时，y最小＝－2≠p，不合题意，舍去；(ii)若(－1)－p≤q－(－1)，由增减性得：当x＝q＝2时，y最大＝，当x＝－1时，y最小＝p＝－2，符合题意，∴p＝－2，q＝2.③当－1≤p＜q时，由增减性得：当x＝q＝2时，y最大＝，当x＝p时，y最小＝p，把x＝p，y＝p代入y＝(x＋1)2－2，得p＝(p＋1)2－2，解得p1＝，p2＝－＜－1(不合题意，舍去)．∴p＝，q＝2.综上，或